2012年北京市朝阳区高考数学一模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数=（ ）
A．-4+2i
B．4-2i
C．2-4i
D．2+4i

2. 难度：中等

若集合A={1，m²}，B={2，4}，则“m=2”是“A∩B={4}”的（ ）
A．充要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

已知平面向量，满足•（+）=3，且||=2，||=1，则向量与的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且，则a₅（ ）
A．-16
B．16
C．31
D．32

5. 难度：中等

关于两条不同的直线m、n与两个不同的平面α、β，下列命题正确的是（ ）
A．m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n
B．m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n
C．m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n
D．m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n

6. 难度：中等

已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的离心率，其焦点到渐近线的距离为1，则此双曲线的方程为（ ）
A．-y²=1
B．-=1
C．-y²=1
D．x²-y²=1

7. 难度：中等

某工厂生产的A种产品进入某商场销售，商场为吸引厂家第一年免收管理费，因此第一年A种产品定价为每件70元，年销售量为11.8万件．从第二年开始，商场对A种产品征收销售额的x%的管理费（即销售100元要征收x元），于是该产品定价每件比第一年
增加了元，预计年销售量减少x万件，要使第二年商场在A种产品经营中收取的管理费不少于14万元，则x的最大值是（ ）
A．2
B．6.5
C．8.8
D．10

8. 难度：中等

函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，都有f（x+2）=f（x）．当0≤x≤1时，f（x）=x²．若直线y=x+a与函数y=f（x）的图象有两个不同的公共点，则实数a的值为（ ）
A．n（n∈Z）
B．2n（n∈Z）
C．2n或（n∈Z）
D．n或（n∈Z）

二、解答题

9. 难度：中等

若，，则tanθ=    ．

10. 难度：中等

已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为    ．

11. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，若输入k的值是4，则输出S的值是    ．

12. 难度：中等

设x，y满足约束条件则目标函数z=2x-y的最大值是    ．使Z取得最大值时的点（x，y）的坐标是    ．

13. 难度：中等

已知函数，则f（f（2））=    ；函数g（x）=f（x）-k恰有两个零点，则实数k的取值范围是    ．

14. 难度：中等

已知集合A={（x，y）|x²+y²≤4}，集合B={（x，y）|y≥m|x|，m为正常数}．若O为坐标原点，M，N为集合A所表示的平面区域与集合B所表示的平面区域的边界的交点，则△MON的面积S与m的关系式为    ．

15. 难度：中等

已知函数．
（Ⅰ）若，其中，求的值；
（II）设，求函数g（x）在区间上的最大值和最小值．

16. 难度：中等

某企业员工500人参加“学雷锋”志愿活动，按年龄分组：第1组[25，30），第2组[30，35），第3组[35，40），第4组[40，45），第5组[45，50]，得到的频率分布直方图如图所示．
（Ⅰ）下表是年龄的频数分布表，求正整数a，b的值；

区间	[25，30）	[30，35）	[35，40）	[40，45）	[45，50]
人数	50	50	a	150	b

（Ⅱ）现在要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，年龄在第1，2，3组的人数分别是多少？
（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求至少有1人年龄在第3组的概率．

17. 难度：中等

在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ABD=90°，EB⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=2，EF=1，，且M是BD的中点．
（Ⅰ）求证：EM∥平面ADF；
（Ⅱ）在EB上是否存在一点P，使得∠CPD最大？若存在，请求出∠CPD的正切值；若不存在，请说明理由．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=（ax²-1）•e^x，a∈R．
（Ⅰ）若函数f（x）在x=1时取得极值，求a的值；
（Ⅱ）当a≤0时，求函数f（x）的单调区间．

19. 难度：中等

已知椭圆的两个焦点分别为，，点M（1，0）与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点M（1，0）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，设点N（3，2），记直线AN，BN的斜率分别为k₁，k₂，求证：k₁+k₂为定值．

20. 难度：中等

已知各项均为非负整数的数列A：a，a₁，…，a_n（n∈N^*），满足a=0，a₁+…+a_n=n．若存在最小的正整数k，使得a_k=k（k≥1），则可定义变换T，变换T将数列A变为T（A）：a+1，a₁+1，…，a_k-1+1，0，a_k+1，…，a_n．设A_i+1=T（A_i），i=0，1，2…．
（Ⅰ）若数列A：0，1，1，3，0，0，试写出数列A₅；若数列A₄：4，0，0，0，0，试写出数列A；
（Ⅱ）证明存在数列A，经过有限次T变换，可将数列A变为数列；
（Ⅲ）若数列A经过有限次T变换，可变为数列．设S_m=a_m+a_m+1+…+a_n，m=1，2，…，n，求证，其中表示不超过的最大整数．