2012年广东省梅州中学高考数学三模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合P={（x，y）|x+y＜3，x，y∈N⁺}，则集合P的非空子集个数是（ ）
A．1
B．2
C．7
D．8

2. 难度：中等

若（a+2i）i=b+i，其中a、b∈R，i是虚数单位，则a+b=（ ）
A．-1
B．1
C．-3
D．3

3. 难度：中等

（文）将图所示的一个直角三角形ABC（∠C=90°）绕斜边AB旋转一周，所得到的几何体的正视图是下面四个图形中的（ ）

A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

已知O，A，B是平面上不共线的三点，若点C满足，则向量等于（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

设函数y=f（x）=a^x（a＞0，a≠1），y=f^-1（x）表示f（x）的反函数，定义如框图表示的运算，若输入x=-2，输出y=；当输出y=-3时，则输入x=（ ）

A．8
B．
C．6
D．

6. 难度：中等

“p或q是假命题”是“非p为真命题”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件

7. 难度：中等

设函数f（x）=sin（2x+），则下列结论正确的是（ ）
A．f（x）的图象关于直线x=对称
B．f（x）的图象关于点（，0）对称
C．把f（x）的图象向左平移个单位，得到一个偶函数的图象
D．f（x）的最小正周期为π，且在[0，]上为增函数

8. 难度：中等

设双曲线的渐近线与抛物线y=x²+1相切，则该双曲线的离心率等于（ ）
A．
B．2
C．
D．

9. 难度：中等

从区间（0，1）上任取两个实数a和b，则方程有实根的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

由方程确定的函数y=f（x）在（-∞，+∞）上是（ ）
A．奇函数
B．偶函数
C．减函数
D．增函数

二、解答题

11. 难度：中等

已知函数若f（x）=2，则x=    ．

12. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和S_n=n²-7n，若第k项满足9＜a_k＜12，则k=    ．

13. 难度：中等

类比“二倍角的正、余弦公式”的形式，对于给定的两个函数，，，给出以下两个式子
①f（2x）=2f（x）•g（x）；    ②g（2x）=[g（x）]²-[f（x）]²；
其中正确的是    ．

14. 难度：中等

（几何证明选做题）如图，已知：△ABC内接于圆O，点D在OC的延长线上，AD是圆O的切线，若∠B=30°，AC=2，则OD的长为    ．

15. 难度：中等

在极坐标系中，若过点A（3，0）且与极轴垂直的直线交曲线ρ=4cosθ于A、B两点，则|AB|=    ．

16. 难度：中等

如图，设P是单位圆和x轴正半轴的交点，M、N是单位圆上的两点，O是坐标原点，∠POM=，∠PON=α，α∈[0，π）
（1）求点M的坐标；
（2）设f（α）=•，求f（α）的取值范围．

17. 难度：中等

由世界自然基金会发起的“地球1小时”活动，已发展成为最有影响力的环保活动之一，今年的参与人数再创新高．然而也有部分公众对该活动的实际效果与负面影响提出了疑问．对此，某新闻媒体进行了网上调查，所有参与调查的人中，持“支持”、“保留”和“不支持”态度的人数如下表所示：

	支持	保留	不支持
20岁以下	800	450	200
20岁以上（含20岁）	100	150	300

（Ⅰ）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取n个人，已知从“支持”态度的人中抽取了45人，求n的值；
（Ⅱ）在持“不支持”态度的人中，用分层抽样的方法抽取5人看成一个总体，从这5人中任意选取2人，求至少有1人20岁以下的概率．

18. 难度：中等

如图所示，正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直，∠ADE=90°，AF∥DE，DE=DA=2AF=2．
（1）求证：AC∥平面BEF；
（2）求四面体BDEF的体积．

19. 难度：中等

设函数f（x）=x³-3ax+b（a≠0）．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处与直线y=8相切，求a，b的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间与极值点．

20. 难度：中等

在xoy平面上有一点列P₁（a₁，b₁），P₂（a₂，b₂），P₃（a₃，b₃），…，P_n（a_n，b_n），…，对每个自然数n，点P_n位于函数，（0＜a＜10）的图象上，且点P_n、点（n，0）与点（n+1，0）构成一个以P_n为顶点的等腰三角形．
（Ⅰ）求点P_n的纵坐标b_n的表达式；
（Ⅱ）若对每个自然数n，以b_n，b_n+1，b_n+2为边长能构成一个三角形，求a的取值范围；
（Ⅲ）设，若a取（Ⅱ）中确定的范围内的最小整数，问数列{C_n}前多少项的和最大？试说明理由．（lg2=0.3010，lg7=0.8450）

21. 难度：中等

在平面直角坐标系中，已知点P（1，-1），过点P作抛物线T：y=x²的切线，其切点分别为M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）（其中x₁＜x₂）．
（Ⅰ）求x₁与x₂的值；
（Ⅱ）若以点P为圆心的圆E与直线MN相切，求圆E的面积；
（Ⅲ）过原点O（0，0）作圆E的两条互相垂直的弦AC，BD，求四边形ABCD面积的最大值．