2012年广东省云浮市罗定中学高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合M=，N={y|y=log₂x，x∈（0，1]}，则集合M∪N是（ ）
A．（-∞，0）∪[1，+∞）
B．[0，+∞）
C．（-∞，1]
D．（-∞，0）∪（0，1]

2. 难度：中等

若，则=（ ）
A．-1
B．
C．-7
D．7

3. 难度：中等

=2，则实数a等于（ ）
A．-1
B．1
C．-
D．

4. 难度：中等

抛物线y²=8x的焦点到双曲线的渐近线的距离为（ ）
A．1
B．
C．
D．

5. 难度：中等

执行图所示的程序，输出的结果为20，则判断框中应填入的条件为（ ）
A．a≥5
B．a≥4
C．a≥3
D．a≥2

6. 难度：中等

函数f（x）=ln的图象只可能是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知，，且，||=4，则与的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

下列四个命题中真命题的个数是
①若a，b∈[0，1]，则不等式a²+b²＜4成立的概率是；
②命题“∃x∈R，x²-x＞0”的否定是“∀x∈R，x²-x≤0”；
③“若am²＜bm²，则a＜b”的逆命题为真
④命题p：∀x∈[0，1]，e^x≥1，命题q：∃x∈R，x²+x+1＜0，则p∨q为真（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

9. 难度：中等

将圆的中心到直线y=kx的距离记为d=f（k）给出下列判断
①数列{nf（n）}是递增数列
②数列{}的前n项和是
③[-]^-1=1
④＜
其中正确的结论是（ ）
A．①②③④
B．①②③
C．①③
D．①

10. 难度：中等

现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有（ ）

A．24种
B．30种
C．36种
D．48种

11. 难度：中等

设O为坐标原点，点M坐标为（3，2），若点N（x，y）满足不等式组：时，则的最大值的变化范围是（ ）
A．[7，8]
B．[7，9]
C．[6，8]
D．[7，15]

12. 难度：中等

若AB是过椭圆中心的一条弦，M是椭圆上任意一点，且AM，BM与坐标轴不平行，k_AM，k_BM分别表示直线AM，BM的斜率，则k_AM•k_BM=（ ）
A．
B．
C．
D．

二、解答题

13. 难度：中等

f（x）=（1+2x）^m+（1+3x）ⁿ（m，n∈N*）的展开式中x的系数为13，则x²的系数为    ．

14. 难度：中等

蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图2为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f（n）表示第n幅图的蜂巢总数．则f（n）=    ．

15. 难度：中等

某研究小组为了研究中学生的身体发育情况，某学校随机抽出20名15至16周岁的男生，将他们的身高和体重制成2×2列联表，根据表联表的数据，可以有    %的把握认为该学校15至16周岁的男生的身高和体重之间有关系．

	超重	不超重	合计
偏高	4	1	5
不偏高	3	12	15
合计	7	13	20

独立性检验临界值表

P（K^2≥k）	0.025	0.010	0.005	0.001
k	5.024	6.635	7.879	10.828

独立性检验随机变量K²值的计算公式：．

16. 难度：中等

设双曲线的离心率为，且它的一条准线与抛物线y²=4x的准线重合，则此双曲线的方程为    ．

17. 难度：中等

设向量=（4cosα，sinα），=（sinβ，4cosβ），=（cosβ，-4sinβ）
（1）若与垂直，求tan（α+β）的值；
（2）若tanαtanβ=16，求证：∥．

18. 难度：中等

一次考试共有12道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且只有一个是正确的．评分标准规定：“每题只选一个选项，答对得5分，不答或答错得零分”．某考生已确定有8道题的答案是正确的，其余题中：有两道题都可判断两个选项是错误的，有一道题可以判断一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只好乱猜．请求出该考生：
（1）得60分的概率；
（2）得多少分的可能性最大？
（3）所得分数ξ的数学期望（用分数表示，精确到0.01）．

19. 难度：中等

一个多面体的直观图及三视图如图所示（其中M，N分别是AF、BC的中点）
（1）求证：MN∥平面CDEF；
（2）求二面角A-CF-B的余弦值；
（3）求多面体A-CDEF的体积．

20. 难度：中等

已知椭圆C：的离心率为，过坐标原点O且斜率为的直线l与C相交于A，B，|AB|=．
（1）求a，b的值；
（2）若动圆（x-m）²+y²=1与椭圆C和直线l都没有公共点，试求m的取值范围．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=-+2ax²-3a²x+1，0＜a＜1．
（Ⅰ）求函数f（x）的极大值；
（Ⅱ）若x∈[1-a，1+a]时，恒有-a≤f′（x）≤a成立（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），试确定实数a的取值范围．

22. 难度：中等

选修4-1：几何证明选讲
已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB，FC．
（1）求证：FB=FC；
（2）若AB是△ABC外接圆的直径，∠EAC=120°，BC=6，求AD的长．

23. 难度：中等

（选做题）
在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=，圆C的参数方程为，（θ为参数，r＞0）
（I）求圆心C的极坐标；
（II）当r为何值时，圆C上的点到直线l的最大距离为3．

24. 难度：中等

已知关于x的不等式|x-3|+|x-4|＜a．
（1）当a=2时，解上述不等式；
（2）如果关于x的不等式|x-3|+|x-4|＜a的解集为空集，求实数a的取值范围．