2012年山西省晋中市平遥县高三4月质量检测数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设复数z满足i•z=2-i，则z=（ ）
A．-1+2i
B．1-2i
C．1+2i
D．-1-2i

2. 难度：中等

下列有关命题的说法中，正确的是（ ）
A．命题“若x²＞1，则x＞1”的否命题为“若x²＞1，则x≤1”
B．命题“若α＞β，则tanα＞tanβ”的逆否命题为真命题
C．命题“∃x∈R，使得x²+x+1＜0”的否定是“∀x∈R，都有x²+x+1＞0”
D．“x＞1”是“x²+x-2＞0”的充分不必要条件

3. 难度：中等

等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a₅=11，S₁₂=186，则a₈=（ ）
A．18
B．20
C．21
D．22

4. 难度：中等

已知均为单位向量，它们的夹角为60°，那么=（ ）
A．
B．
C．
D．4

5. 难度：中等

已知变量x、y满足约束条件，则z=3x+2y的最大值为（ ）
A．-3
B．
C．-5
D．4

6. 难度：中等

定义在R上的函数f（x）在[-3，+∞）上为增函数，且y=f（x-3）为偶函数，则（ ）
A．f（-8）＜f（-4）
B．f（-5）＞f（-1）
C．f（-6）＜f（2）
D．f（-6）＜f（-1）

7. 难度：中等

函数f（x）满足f（0）=0，其导函数f′（x）的图象如图，则f（x）的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为（ ）

A．
B．
C．2
D．

8. 难度：中等

已知抛物线C：y²=4x的焦点为F，直线y=2x-4与C交于A，B两点，则cos∠AFB=（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

若如图的程序框图输出的S是126，则①应为（ ）
A．n≤5
B．n≤6
C．n≤7
D．n≤8

10. 难度：中等

函数y=cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，该函数的部分图象如图所表示，A、B分别为最高点与最低点，并且两点间的距离为，则该函数的一条对称轴为（ ）

A．
B．
C．x=1
D．x=2

11. 难度：中等

如图，平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，，将其沿对角线BD折成四面体A′-BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面体A′-BCD顶点在同一个球面上，则该球的体积为（ ）

A．
B．3π
C．
D．2π

12. 难度：中等

已知，且函数y=f（x）-2x恰有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ）
A．[-4，0]
B．[-8，+∞）
C．[-4，+∞）
D．（0，+∞）

二、解答题

13. 难度：中等

若集合A={x|x²-4x-5＜0，x∈Z}，B={x|y=log_0.5x＞-3，x∈Z}，记x为抛掷一枚骰子出现的点数，则x∈A∩B的概率等于    ．

14. 难度：中等

若二项式的展开式中的常数项为-160，则=    ．

15. 难度：中等

一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于    ．

16. 难度：中等

观察下列等式
1=1
2+3+4=9
3+4+5+6+7=25
4+5+6+7+8+9+10=49
…
照此规律，第n个等式为    ．

17. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=2，，B=60°．
（I）求c及△ABC的面积S；
（II）求sin（2A+C）．

18. 难度：中等

把正方形AA₁B₁B以边AA₁所在直线为轴旋转90到正方形AA₁C₁C，其中D，E，F分别为B₁A，C₁C，BC的中点．
（1）求证：DE∥平面ABC；
（2）求证：B₁F⊥平面AEF；
（3）求二面角A-EB₁-F的大小．

19. 难度：中等

为了研究化肥对小麦产量的影响，某科学家将一片土地划分成200个50m²的小块，并在100个小块上施用新化肥，留下100个条件大体相当的小块不施用新化肥．下表1和表2分别是施用新化肥和不施用新化肥的小麦产量频数分布表（小麦产量单位：kg）
表1：施用新化肥小麦产量频数分布表

小麦产量	[0，10）	[10，20）	[20，30）	[30，40）	[40，50）
频数	10	35	40	10	5

表2：不施用新化肥小麦产量频数分布表

小麦产量	[0，10）	[10，20）	[20，30）	[30，40）
频数	15	50	30	5

（1）完成下面频率分布直方图；

施用新化肥后小麦产量的频率分布直方图       不施用新化肥后小麦产量的频率分布直方图
（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计施用化肥和不施用化肥的一小块土地的小麦平均产量；
（3）完成下面2×2列联表，并回答能否有99.5%的把握认为“施用新化肥和不施用新化肥的小麦产量有差异”
表3：

	小麦产量小于20kg	小麦产量不小于20kg	合计
施用新化肥	a=	b=
不施用新化肥	c=	d=
合计			n=

附：

P（K^2≥k）	0.050     0.010     0.005      0.001
k	3.841     6.635     7.879     10.828

20. 难度：中等

抛物线C：x²=2py（p＞0）上一点P（m，4）到其焦点的距离为5．
（I）求p与m的值；
（II）若直线l：y=kx-1与抛物线C相交于A、B两点，l₁、l₂分别是该抛物线在A、B两点处的切线，M、N分别是l₁、l₂与该抛物线的准线交点，求证：．

21. 难度：中等

已知函数．
（Ⅰ）若，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）若对任意的x∈（1，3），都有f（x）＞0成立，求a的取值范围．

22. 难度：中等

如图，AB、CD是圆的两条平行弦，BE∥AC，BE交CD于E、交圆于F，过A点的切线交DC的延长线于P，PC=ED=1，PA=2．
（I）求AC的长；
（II）求证：BE=EF．

23. 难度：中等

已知直线l的参数方程是（t是参数），圆C的极坐标方程为．
（I）求圆心C的直角坐标；
（II）由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．

24. 难度：中等

关于x的不等式lg（|x+3|-|x-7|）＜m．
（Ⅰ）当m=1时，解此不等式；
（Ⅱ）设函数f（x）=lg（|x+3|-|x-7|），当m为何值时，f（x）＜m恒成立？