2012年河南省焦作市高三第一次质量检测数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知复数z=，则z的共轭复数是（ ）
A．1-i
B．1+i
C．i
D．-i

2. 难度：中等

下列函数中，既是奇函数，又是减函数是（ ）
A．f（x）=-x|x|
B．f（x）=x³
C．f（x）=cosx（x∈[0，π]）
D．f（x）=

3. 难度：中等

（x-）⁹的展开式的第8项是（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

在△ABC中，若|+|=|-|，则△ABC是（ ）
A．等边三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．直角三角形

5. 难度：中等

已知向量=（a_n，2），=（a_n+1，）且a₁=1，若数列{a_n}的前n项和为S_n，且，则S_n=（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

执行右图所示的程序框图，则能输出数对（x，y）的概率为（ ）

A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

如图，在透明塑料制成的长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁容器内灌进一些水，将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：
①水的部分始终呈棱柱状；
②水面四边形EFGH的面积不改变；
③棱A₁D₁始终与水面EFGH平行；
④当E∈AA₁时，AE+BF是定值．
其中正确说法是（ ）
A．①②③
B．①③
C．①②③④
D．①③④

8. 难度：中等

由曲线y=（x-1）²，直线y=x+1所围成的图形的面积为（ ）
A．
B．
C．3
D．6

9. 难度：中等

已知数列{a_n}的通项公式为a_n=|n-13|，则满足a_k+a_k+1+…+a_k+19=102的整数k（ ）
A．有3个
B．有2个
C．有1个
D．不存在

10. 难度：中等

设，若x∈R，f（x₁）≤f（x）≤f（x₂），则|x₁-x₂|的最小值为（ ）
A．8
B．4
C．2
D．1

11. 难度：中等

已知点P是双曲线右支上一点，F₁、F₂分别是双曲线的左、右焦点，I为△PF₁F₂的内心，若成立，则双曲线的离心率为（ ）
A．4
B．
C．2
D．

12. 难度：中等

定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，，则关于x的函数F（x）=f（x）-a（0＜a＜1）的所有零点之和为（ ）
A．2^a-1
B．2^-a-1
C．1-2^-a
D．1-2^a

二、解答题

13. 难度：中等

写出一个使不等式|x-2|＜1成立的必要不充分条件    ．

14. 难度：中等

已知双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是y=x，它的一个焦点与抛物线y²=32x的焦点相同．则双曲线的方程为    ．

15. 难度：中等

如图，是某四棱锥的三视图，则该几何体的表面积为    ．

16. 难度：中等

若对于任意非零实数m，不等式|2m-1|+|1-m|＞|m|（|x-1|-|2x+3|）恒成立，则实数x的取值范围    ．

17. 难度：中等

在公比为2的等比数列{a_n}中，a₂与a₄的等差中项是．
（Ⅰ）求a₁的值；
（Ⅱ）若函数y=|a₁|sin（），|ϕ|＜π的一部分图象如图所示，M（-1，|a₁|），为图象上的两点，设∠MPN=β，其中P与坐标原因O重合，0≤β≤π，求tan（φ-β）的值．

18. 难度：中等

甲、乙两位学生参加数学竞赛培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次．记录如下：
甲：82 81 79 78 95 88 93 84
乙：92 95 80 75 83 80 90 85
（1）画出甲、乙两位学生成绩的茎叶图，指出学生乙成绩的中位数；
（2）现要从中选派一人参加数学竞赛，从平均状况和方差的角度考虑，你认为派哪位学生参加合适？请说明理由；
（3）若将频率视为概率，对学生甲在今后的三次数学竞赛成绩进行预测，记这三次成绩中高于80分的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．

19. 难度：中等

如图，矩形ABCD中，AB=CD=2，BC=AD=．现沿着其对角线AC将D点向上翻折，使得二面角D-AC-B为直二面角．
（Ⅰ）求二面角A-BD-C平面角的余弦值．
（Ⅱ）求四面体ABCD外接球的体积．

20. 难度：中等

已知椭圆=1（a＞b＞0）的离心率e=，左、右焦点分别为F₁、F₂，点，点F₂在线段PF₁的中垂线上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l：y=kx+m与椭圆C交于M、N两点，直线F₂M与F₂N的倾斜角分别为α，β，且α+β=π，求证：直线l过定点，并求该定点的坐标．

21. 难度：中等

已知函数．
（I）求f（x）在[0，1]上的最大值；
（II）若对任意的实数，不等式|a-lnx|+ln[f'（x）+3x]＞0恒成立，求实数a的取值范围；
（III）若关于x的方程f（x）=-2x+b在[0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围．

22. 难度：中等

在△ABC中，AB=AC，过点A的直线与其外接圆交于点P，交BC延长线于点D．
（1）求证：；
（2）若AC=3，求AP•AD的值．

23. 难度：中等

选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为．以直角坐标系原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．点P为曲线C上的一个动点，求点P到直线l距离的最小值．

24. 难度：中等

选修4-5：不等式选讲
已知|x-2y|=5，求证：x²+y²≥5．