2012年辽宁省大连市高考数学压轴卷 （文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

集合M={x|x²-2x-3＜0}，N={x|2x-2＞0}，则M∩N等于（ ）
A．（-1，1）
B．（1，3）
C．（0，1）
D．（-1，0）

2. 难度：中等

知全集U=R，集合，集合B={x|0＜x＜2}，则（C_UA）∪B=（ ）
A．[1，+∞）
B．（1，+∞）
C．[0，+∞）
D．（0，+∞）

3. 难度：中等

设a是实数，且是实数，则a=（ ）
A．
B．1
C．
D．2

4. 难度：中等

设z=1-i（为虚数单位），则z²+=（ ）
A．-1-i
B．-1+i
C．1+i
D．1-i

5. 难度：中等

“a=-1”是“直线a²x-y+6=0与直线4x-（a-3）y+9=0互相垂直”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

6. 难度：中等

已知命题p：“sinα=sinβ，且cosα=cosβ”，命题q：“α=β”．则命题p是命题q的（ ）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分与不必要条件

7. 难度：中等

已知a∈R，则“a＞2”是“a²＞2a”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

8. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，若输出的结果是9，则判断框内m的取值范围是（ ）

A．（42，56]
B．（56，72]
C．（72，90]
D．（42，90）

9. 难度：中等

如图所示的程序框图，若输出的S是30，则①可以为（ ）

A．n≤2？
B．n≤3？
C．n≤4？
D．n≤5？

10. 难度：中等

在直角坐标平面内，已知函数f（x）=log_a（x+2）+3（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，若角θ的终边过点P，则cos²θ+sin2θ的值等于（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

已知点M，N是曲线y=sinπx与曲线y=cosπx的两个不同的交点，则|MN|的最小值为（ ）
A．1
B．
C．
D．2

12. 难度：中等

如图所示为函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）的部分图象，其中A，B两点之间的距离为5，那么f（-1）=（ ）

A．2
B．
C．
D．-2

13. 难度：中等

设向量、满足：||=1，||=2，•（-）=0，则与的夹角是（ ）
A．30°
B．60°
C．90°
D．120°

14. 难度：中等

如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则=（ ）

A．
B．
C．
D．

15. 难度：中等

一个体积为12的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的侧视图的面积为（ ）
A．6
B．8
C．8
D．12

16. 难度：中等

A，B，C，D是同一球面上的四个点，其中△ABC是正三角形，AD⊥平面ABC，AD=2AB=6，则该球的体积为（ ）
A．
B．48π
C．
D．

17. 难度：中等

，则实数a取值范围为（ ）
A．（-∞，-1）∪[1，+∞）
B．[-1，1]
C．（-∞，-1]∪[1，+∞）
D．（-1，1]

18. 难度：中等

设（其中0＜x＜y），则M，N，P大小关系为（ ）
A．M＜N＜P
B．N＜P＜M
C．P＜M＜N
D．P＜N＜M

19. 难度：中等

若a是从集合{0，1，2，3}中随机抽取的一个数，b是从集合{0，1，2}中随机抽取的一个数，则关于x的方程x²+2ax+b²=0有实根的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

20. 难度：中等

如图是1，2两组各7名同学体重（单位：kg）数据的茎叶图．设1，2两组数据的平均数依次为和，标准差依次为s₁和s₂，那么（ ）（注：标准差，其中为x₁，x₂，…，x_n的平均数）

1组		2组
3  6  7  8          1       0  2	5 6 7	4  6  8 0  1 2  3

A．，s₁＞s₂
B．，s₁＜s₂
C．，s₁＜s₂
D．，s₁＞s₂

21. 难度：中等

设S_n是等差数列{a_n}的前n项和，若 S₄≥10，S₅≤15，S₇≥21，则a₇的取值区间为（ ）
A．（-∞，7]
B．[3，4]
C．[4，7]
D．[3，7]

22. 难度：中等

若等比数列{a_n}的前n项和，则a₂=（ ）
A．4
B．12
C．24
D．36

23. 难度：中等

抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，A、B在抛物线上，且，弦AB的中点M在其准线上的射影为N，则的最大值为（ ）
A．
B．
C．1
D．

24. 难度：中等

已知双曲线的焦点为F₁、F₂，点M在双曲线上且，则点M到x轴的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．

25. 难度：中等

若直线x-y=2被圆（x-a）²+y²=4所截得的弦长为，则实数a的值为（ ）
A．-1或
B．1或3
C．-2或6
D．0或4

26. 难度：中等

设函数f（x）=，若f（a）＞1，则实数a的取值范围是（ ）
A．（-2，1）
B．（-∞，-2）∪（1，+∞）
C．（1，+∞）
D．（-∞，-1）（0，+∞）

27. 难度：中等

已知定义在R上的函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，且x∈（-∞，0）时，f（x）+xf′（x）＜0成立，（其中f′（x）是f（x）的导函数），a=（3^0.3）f（3^0.3），b=（log_π3）．f（log_π3），则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞c
B．c＞b＞a
C．c＞a＞b
D．a＞c＞b

28. 难度：中等

曲线y=e^x+2x在点（0，1）处的切线方程为（ ）
A．y=x+1
B．y=x-1
C．y=3x+1
D．y=-x+1

29. 难度：中等

函数的图象可能是下列图象中的（ ）
A．
B．
C．
D．

30. 难度：中等

设f（x）在区间（-∞，+∞）可导，其导数为f′（x），给出下列四组条件p是q的充分条件的是（ ）
①p：f（x）是奇函数，q：f′（x）是偶函数
②p：f（x）是以T为周期的函数，q：f′（x）是以T为周期的函数
③p：f（x）在区间（-∞，+∞）上为增函数，q：f′（x）＞0在（-∞，+∞）恒成立
④p：f（x）在x处取得极值，q：f′（x）=0．
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．②③④

二、解答题

31. 难度：中等

已知一组抛物线y=ax²+bx+1，其中a为2、4中任取的一个数，b为1、3、5中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线x=1交点处的切线相互平行的概率是    ．

32. 难度：中等

已知双曲线的两条渐近线均和圆C：x²+y²-6x+5=0相切，且双曲线的右焦点为抛物线y²=12x的焦点，则该双曲线的标准方程为    ．

33. 难度：中等

一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积与其外接球面积之比为    ．

34. 难度：中等

函数f（x）=x³+ax（x∈R）在x=l处有极值，则曲线y=f（x）在原点处的切线方程是    ．

35. 难度：中等

△ABC中，若∠A、∠B、∠C所对的边a，b，c均成等差数列，∠B=，△ABC的面积为，那么b=    ．

36. 难度：中等

若，则x+3y的最大值是    ．

37. 难度：中等

为了了解“预防禽流感疫苗”的使用情况，某市卫生部门对本地区9月份至11月份注射疫苗的所有养鸡场进行了调查，根据下图表提供的信息，可以得出这三个月本地区每月注射了疫苗的鸡的数量平均为    万只．

月份	养鸡场（个数）
9	20
10	50
11	100

38. 难度：中等

记S_k=1^k+2^k+3^k+…+n^k，当k=1，2，3，…时，观察下列等式：S₁=n，S₂=n，S₃=，S₄=n，S₅=An⁶+，…可以推测，A-B=    ．

39. 难度：中等

已知函数f（x）=sin2x-cos²x-，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小值和最小正周期；
（2）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且c=，f（C）=0，若sinB=2sinA，求a，b的值．

40. 难度：中等

已知各项均不相等的等差数列{a_n}的前四项和S₄=14，且a₁，a₃，a₇成等比数列．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）设T_n为数列{}的前n项和，若T_n≤λa_n+1对∀n∈N^*恒成立，求实数λ的最小值．

41. 难度：中等

衡阳市第一次联考后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀．统计成绩后，得到如下的2×2列联表，且已知在甲、乙两个文科班全部110人中随机抽取1人为优秀的概率为．

	优秀	非优秀	合计
甲班	10
乙班		30
合计			110

（1）请完成上面的列联表；
（2）根据列联表的数据，若按99.9%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”；
（3）若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人：把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号．试求抽到9号或10号的概率．
参考公式与临界值表：．

P（K^2≥k）	0.100	0.050	0.025	0.010	0.001
k	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828

42. 难度：中等

某校为了解学生的视力情况，随机抽查了一部分学生视力，将调查结果分组，分组区间为（3.9，4.2]，（4.2，4.5]，…，（5.1，5.4]．经过数据处理，得到如下频率分布表：

分组	频数	频率
（3.9，4.2]	3	0.06
（4.2，4.5]	6	0.12
（4.5，4.8]	25	x
（4.8，5.1]	y	z
（5.1，5.4]	2	0.04
合计	n	1.00

（I）求频率分布表中未知量n，x，y，z的值；
（II）从样本中视力在（3.9，4.2]和（5.1，5.4]的所有同学中随机抽取两人，求两人的视力差的绝对值低于0.5的概率．

43. 难度：中等

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ACB=90°，PA⊥平面ABCD，PA=BC=1，，F是BC的中点．
（Ⅰ）求证：DA⊥平面PAC；
（Ⅱ）试在线段PD上确定一点G，使CG∥平面PAF，并求三棱锥A-CDG的体积．

44. 难度：中等

已知椭圆C的方程为：，其焦点在x轴上，离心率．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）设动点P（x，y）满足，其中M，N是椭圆C上的点，直线OM与ON的斜率之积为，求证：为定值．
（3）在（2）的条件下，问：是否存在两个定点A，B，使得|PA|+|PB|为定值？若存在，给出证明；若不存在，请说明理由．

45. 难度：中等

本题主要考查抛物线的标准方程、简单的几何性质等基础知识，考查运算求解、推理论证的能力．
如图，在平面直角坐标系xOy，抛物线的顶点在原点，焦点为F（1，0）．过抛物线在x轴上方的不同两点A、B，作抛物线的切线AC、BD，与x轴分别交于C、D两点，且AC与BD交于点M，直线AD与直线BC交于点N．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）求证：MN⊥x轴；
（3）若直线MN与x轴的交点恰为F（1，0），求证：直线AB过定点．

46. 难度：中等

已知f（x）=xlnx，g（x）=-x²+ax-3．
（1）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（2）对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（3）证明：对一切x∈（0，+∞），都有成立．

47. 难度：中等

已知函数，g（x）=alnx+a．
（1）a=1时，求F（x）=f（x）-g（x）的单调区间；
（2）若x＞1时，函数y=f（x）的图象总在函数y=g（x）的图象的上方，求实数a的取值范围．

48. 难度：中等

如图，⊙O₁与⊙O₂相交于A、B两点，过点A作⊙O₁的切线交⊙O₂于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O₁、⊙O₂于点D、E，DE与AC相交于点P．
（1）求证：AD∥EC；
（2）若AD是⊙O₂的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的长．

49. 难度：中等

已知直线l：（t为参数），曲线C₁：（θ为参数）．
（Ⅰ）设l与C₁相交于A，B两点，求|AB|；
（Ⅱ）若把曲线C₁上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线C₂，设点P是曲线C₂上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．

50. 难度：中等

已知函数f（x）=log₂（|x+1|+|x-2|-m）．
（1）当m=5时，求函数f（x）的定义域；
（2）若关于x的不等式f（x）≥1的解集是R，求m的取值范围．