2011-2012学年江西省重点中学协作体高三第三次联考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

巳知i是虚数单位，集合M=Z（整数集）和N={i，i²，，} 则集合M∩N的元素个数是（ ）
A．3个
B．2个
C．1个
D．无穷个

2. 难度：中等

下列说法正确的是（ ）
A．函数在其定义域上是减函数
B．两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件
C．命题“∃x∈R，x²+x+1＞0”的否定是“∀x∈R，x²+x+1＜0”
D．给定命题P、q，若P∧q是真命题，则¬P是假命题

3. 难度：中等

如程序框图所示，其作用是输入x的值，输出相应的y的值．若要使输入的x的值与输出的y的值相等，则这样的x的值有（ ）

A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

4. 难度：中等

如图，长方形的四个顶点为O（0，0），A（4，0），B（4，2），C（0，2），曲线经过点B．现将一质点随机投入长方形OABC中，则质点落在图中阴影区域的概率是（ ）

A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象如图所示，其中A＞0，ω＞0，．则下列关于函数f（x）的说法中正确的是（ ）

A．对称轴方程是
B．
C．最小正周期是π
D．在区间上单调递减

6. 难度：中等

现有8名青年，其中5名能任英语翻译工作，4名能胜任电脑软件设计工作，且每人至少能胜这两项工作中的一项，现从中选5人，承担一项任务，其中3人从事英语翻译工作，2人从事软件设计工作，则不同的选派方法有（ ）
A．60种
B．54种
C．30种
D．42种

7. 难度：中等

若函数y=f（x）在R上可导且满足不等式xf′（x）＞-f（x）恒成立，且常数a，b满足a＞b，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．af（b）＞bf（a）
B．af（a）＞bf（b）
C．af（a）＜bf（b）
D．af（b）＜bf（a）

8. 难度：中等

若变量a，b满足约束条件，n=2a+3b，则n取最小值时，二项展开式中的常数项为（ ）
A．-80
B．80
C．40
D．-20

9. 难度：中等

一个几何体的俯视图是一个圆，用斜二侧画法画出正视图和俯视图都是边长为6和4，锐角为45的平行四边形，则该几何体的体积为（ ）
A．24π
B．48π
C．72π
D．以上答案均不正确

10. 难度：中等

已知椭圆的两个焦点，，过F₁且与坐标轴不平行的直线l₁与椭圆相交于M，N两点，△MNF₂的周长等于8．若过点（1，0）的直线l与椭圆交于不同两点P、Q，x轴上存在定点E（m，0），使恒为定值，则E的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、解答题

11. 难度：中等

数列{a_n}共有11项，a₁=0，a₁₁=4，且|a_k+1-a_k|=1，k=1、2、3．…，10．满足这样条件的不同数列的个数为    ．

12. 难度：中等

某大学对1000名学生的自主招生水平测试成绩进行统计，得到样本频率分布直方图如图所示，现规定不低于70分为合格，则合格人数是    ．

13. 难度：中等

设函数f（x）=1-xsinx在x=x处取极值，则（1+x²）（1+cos2x）=    ．

14. 难度：中等

如图放置的边长为1的正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴正半轴上（含原点）上滑动，则的最大值是    ．

15. 难度：中等

在极坐标系中，若等边三角形ABC（顶点A，B，C按顺时针方向排列）的顶点A，B的极坐标分别为（2，），（2，），则顶点C的极坐标为    ．

16. 难度：中等

关于x的不等式：的解集为[m，n]，若n-m=3，则实数k的值等于    ．

17. 难度：中等

在锐角三角形ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，=（2b-c，ccosC），=（a，cosA），且∥．
（1）求角A的大小；
（2）求函数y=2sin²B+cos（-2B）的值域．

18. 难度：中等

张先生的鱼缸中有7条鱼，其中6条青鱼和1条黑鱼，计划从当天开始，每天中午从该鱼缸中抓出1条鱼（每条鱼被抓到的概率相同）并吃掉．若黑鱼未被抓出，则它每晚要吃掉1条青鱼（规定青鱼不吃鱼）．
（1）求这7条鱼中至少有6条被张先生吃掉的概率；
（2）以X表示这7条鱼中被张先生吃掉的鱼的条数，求X的分布列及其数学期望EX．

19. 难度：中等

已知数列{a_n}是各项均不为0的等差数列，公差为d，S_n 为其前n项和，且满足a_n²=S_2n-1，n∈N^*．数列{b_n}满足b_n=，T_n为数列{b_n}的前n项和．
（1）求数列{a_n}的通项公式和T_n；
（2）是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T₁，T_m，T_n，成等比数列？若存在，求出所有m，n的值；若不存在，请说明理由．

20. 难度：中等

在等腰梯形ABCD中，AB=3，AD=BC=2，CD=1，E为AB上的点且AE=1，将△AED沿DE折起到A₁ED的位置，使得二面角A₁-CD-E的平面角为
30°．
（1）求证：DE⊥A₁B；
（2）求二面角B-A₁C-D的余弦值．

21. 难度：中等

已知椭圆的离心率为，其左、右焦点分别为F₁，F₂，点P（x，y）是坐标平面内一点，且（O为坐标原点）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M的坐标，若不存在，说明理由．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=ln（x+1）+mx，当x=0时，函数f（x）取得极大值．
（1）求实数m的值；
（2）已知结论：若函数f（x）=ln（x+1）+mx在区间（a，b）内导数都存在，且a＞-1，则存在x∈（a，b），使得．试用这个结论证明：若-1＜x₁＜x₂，函数，则对任意x∈（x₁，x₂），都有f（x）＞g（x）；
（3）已知正数λ₁，λ₂，…，λ_n，满足λ₁+λ₂+…+λ_n=1，求证：当n≥2，n∈N时，对任意大于-1，且互不相等的实数x₁，x₂，…，x_n，都有f（λ₁x₁+λ₂x₂+…+λ_nx_n）＞λ₁f（x₁）+λ₂f（x₂）+…+λ_nf（x_n）．