2012年四川省成都市石室中学高考数学三模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知，其中i是虚数单位，则实数a=（ ）
A．-2
B．-1
C．1
D．2

2. 难度：中等

已知sin（）=，则cos（）的值等于（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

设{a_n}为递增等比数列，a₂₀₁₀和a₂₀₁₁是方程4x²-8x+3=0的两根，则a₂₀₁₂=（ ）
A．9
B．10
C．
D．25

4. 难度：中等

设G是△ABC的重心，且，则B的大小为（ ）
A．45°
B．60°
C．30°
D．15°

5. 难度：中等

设函数f（x）=g（x）+x²，曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y=2x+1，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处切线的斜率为（ ）
A．4
B．-
C．2
D．-

6. 难度：中等

下面四个命题：
①“直线a∥直线b”的充分条件是“直线a平行于直线b所在的平面”；
②“直线l⊥平面α”的充要条件是“直线l⊥平面α内无数条直线”；
③“直线a、b不相交”的必要不充分条件是“直线a、b为异面直线”；
④“平面α∥平面β”的必要不充分条件是“平面α内存在不共线三点到平面β的距离相等”．
其中正确命题的序号是（ ）
A．①②
B．②③
C．③④
D．④

7. 难度：中等

设f（x）=|2-x²|，若0＜a＜b且f（a）=f（b），则a+b的取值范围是（ ）
A．（0，2）
B．（，2）
C．（2，4）
D．（2，2）

8. 难度：中等

若变量x，y满足约束条件，且z=kx+y（k＞0）的最大值为14，则k=（ ）
A．1
B．2
C．23
D．

9. 难度：中等

已知F₁，F₂是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，且，记线段PF₁与Y轴的交点为Q，O为坐标原点，若△F₁OQ与四边形OF₂PQ的面积之比为1：2，则该椭圆的离心率等于（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

某校为全面实施素质教育，大力发展学生社团，2012级高一新生中的五名同学准备参加“文学社”、“戏剧社”、“动漫社”、“爱心社”四个社团，若每个社团至少有一名同学参加，每名同学必须参加且只能参加一个社团，若同学甲不参加“动漫社”，则不同的参加方法的种数为（ ）
A．72
B．108
C．180
D．216

11. 难度：中等

已知a为常数，函数f（x）=|x-2|+|x-a|的图象关于x=3对称，函数g（x）=（x-b）•（n∈N^*）在（0，+∞）上连续，则常数b=（ ）
A．0
B．2
C．3
D．4

12. 难度：中等

设函数f（x）的定义域为D，若存在非零实数l使得对于任意x∈M（M⊆D），有x+l∈D，且f（x+l）≥f（x），则称f（x）为M上的1高调函数．如果定义域为R的函数f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）=|x-a²|-a²，且f（x）为R上的4高调函数，那么实数a的取值范围是（ ）
A．[-1，1]
B．（-1，1）
C．[-2，2]
D．（-2，2）

二、解答题

13. 难度：中等

若（1+2x）ⁿ的二项展开式中x³的系数是x的系数的8倍，则n=    ．

14. 难度：中等

设P，A，B，C是球O表面上的四个点，PA，PB，PC两两垂直，且PA=PB=PC=1，则球O的表面积为    ．

15. 难度：中等

两定点的坐标分别为A（-1，0），B（2，0），动点满足条件∠MBA=2∠MAB，动点M的轨迹方程是    ．

16. 难度：中等

给出下列4个命题：
①0＜a≤是f（x）=ax²+2（a-1）x+2在区间（-∞，4]上为单调减函数的充要条件；
②函数f（x）=（e是自然对数的底数）的最小值为2；
③y=f（x）与它的反函数y=f^-1（x）的图象若相交，则交点必在直线y=x上；
④若α∈（π，），则＞1+tanα＞；
其中所有假命题的代号有    ．

17. 难度：中等

已知函数f（x）=msin（π-ωx）-msin（-ωx）（m＞0，ω＞0）的图象上两相邻最高点的坐标分别为（，2）和（，2）．
（Ⅰ）求m与ω的值；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f（A）=2，求的取值范围．

18. 难度：中等

学校要用三辆校车从南校区把教职工接到校本部，已知从南校区到校本部有两条公路，校车走公路①堵车的概率为，不堵车的概率为；校车走公路②堵车的概率为，不堵车的概率为1-p．若甲、乙两辆校车走公路①，丙校车由于其他原因走公路②，且三辆车是否堵车相互之间没有影响．
（Ⅰ）若三辆校车中恰有一辆校车被堵的概率为，求走公路②堵车的概率；
（Ⅱ）在（I）的条件下，求三辆校车中被堵车辆的辆数ξ的分布列和数学期望．

19. 难度：中等

如图，在三棱锥S-ABC中，平面SBC⊥平面ABC，SB=SC=AB=2，BC=2，∠BAC=90°，O为BC中点．
（Ⅰ）求点B到平面SAC的距离；
（Ⅱ）求二面角A-SC-B的余弦值．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=x²•e^ax，x∈R，其中e为自然对数的底数，a∈R．
（1）设a=-1，x∈[-1，1]，求函数y=f（x）的最值；
（2）若对于任意的a＞0，都有成立，x的取值范围．

21. 难度：中等

离心率为的双曲线C₁：-=1上的动点P到两焦点的距离之和的最小值为2，抛物线C₂：x²=2py（p＞0）的焦点与双曲线C₁的上顶点重合．
（Ⅰ）求抛物线C₂的方程；
（Ⅱ）过直线l：y=a（a为负常数）上任意一点M向抛物线C₂引两条切线，切点分别为AB，坐标原点O恒在以AB为直径的圆内，求实数a的取值范围．

22. 难度：中等

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n=2a_n-1+n-2．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）若数列{b_n}中b₂=4，前n项和为S_n，且4^S_n-n=（a_n+n）^b_n（n∈N^*）证明：．