2011-2012学年北京一中高三（下）4月月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={x∈R|0＜x＜3}，B={x∈R|x²≥4}，则A∩B=（ ）
A．{x|2＜x＜3}
B．{x|2≤x＜3}
C．{x|x≤-2或2≤x＜3}
D．R

2. 难度：中等

，为非零向量，“函数f（x）=（x+）²为偶函数”是“⊥”的（ ）
A．充分但不必要条件
B．必要但不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

已知函数y=sin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则点P（ω，φ）的坐标为（ ）

A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

若如图的程序框图输出的S是126，则①应为（ ）
A．n≤5
B．n≤6
C．n≤7
D．n≤8

5. 难度：中等

已知a_n是由正数组成的等比数列，S_n表示a_n的前n项的和．若a₁=3，a₂a₄=144，则S₁₀的值是（ ）
A．511
B．1023
C．1533
D．3069

6. 难度：中等

已知非零向量，，满足++=0，向量与夹角为120°，且||=2||，则向量与的夹角为（ ）
A．60°
B．90°
C．120°
D．150°

7. 难度：中等

如图，双曲线的中心在坐标原点O，A，C分别是双曲线虚轴的上、下顶点，B是双曲线的左顶点，F为双曲线的左焦点，直线AB与FC相交于点D．若双曲线的离心率为2，则∠BDF的余弦值是（ ）

A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

若函数f（x）满足条件：当x₁，x₂∈[-1，1]时，有|f（x₁）-f（x₂）|≤3|x₁-x₂|成立，则称f（x）∈Ω．对于函数g（x）=x³，h（x）=，有（ ）
A．g（x）∈Ω且h（x）∉Ω
B．g（x）∉Ω且h（x）∈Ω
C．g（x）∈Ω且h（x）∈Ω
D．g（x）∉Ω且h（x）∉Ω

二、解答题

9. 难度：中等

若复数（a+i）（1+2i）是纯虚数，则实数a等于    ．

10. 难度：中等

（-）⁶的展开式中常数项是    ．

11. 难度：中等

已知曲线C的参数方程为（θ为参数），则曲线上C的点到直线3x-4y+4=0的距离的最大值为    ．

12. 难度：中等

设且，则a=    ；f（f（2））=    ．

13. 难度：中等

如图，在圆内接四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E．已知，AE=2EC，∠CBD=30°，则∠CAB=    ，AC的长是    ．

14. 难度：中等

设S为非空数集，若∀x，y∈S，都有x+y，x-y，xy∈S，则称S为封闭集．下列命题
①实数集是封闭集；
②全体虚数组成的集合是封闭集；
③封闭集一定是无限集；
④若S为封闭集，则一定有0∈S；
⑤若S，T为封闭集，且满足S⊆U⊆T，则集合U也是封闭集，
其中真命题是    ．

15. 难度：中等

在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且b²+c²-a²=bc．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）设函数，当f（B）取最大值时，判断△ABC的形状；
（Ⅲ）求函数的最小正周期和最大值及最小值．

16. 难度：中等

如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角F-BE-D的余弦值；
（Ⅲ）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．

17. 难度：中等

甲、乙、丙三人独立破译同一份密码，已知甲、乙、丙各自破译出密码的概率分别为．且他们是否破译出密码互不影响．若三人中只有甲破译出密码的概率为．
（Ⅰ）求甲乙二人中至少有一人破译出密码的概率；
（Ⅱ）求p的值；
（Ⅲ）设甲、乙、丙三人中破译出密码的人数为X，求X的分布列和数学期望EX．

18. 难度：中等

已知函数．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y=x+2垂直，求函数y=f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对于∀x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a-1）成立，试求a的取值范围；
（Ⅲ）记g（x）=f（x）+x-b（b∈R）．当a=1时，函数g（x）在区间[e^-1，e]上有两个零点，求实数b的取值范围．

19. 难度：中等

已知椭圆的离心率为，且椭圆上的点到两个焦点的距离和为2．斜率为k（k≠0）的直线l过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与y轴相交于点M（0，m）．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求m的取值范围；
（Ⅲ）试用m表示△MPQ的面积，并求面积的最大值．

20. 难度：中等

将1，2，3，…，n这n个数随机排成一列，得到的一列数a₁，a₂，…，a_n称为1，2，3，…，n的一个排列；定义τ（a₁，a₂，…，a_n）=|a₁-a₂|+|a₂-a₃|+…|a_n-1-a_n|为排列a₁，a₂，…，a_n的波动强度．
（Ⅰ）当n=3时，写出排列a₁，a₂，a₃的所有可能情况及所对应的波动强度；
（Ⅱ）当n=10时，求τ（a₁，a₂，…，a₁₀）的最大值，并指出所对应的一个排列；
（Ⅲ）当n=10时，在一个排列中交换相邻两数的位置称为一次调整，若要求每次调整时波动强度不增加，问对任意排列a₁，a₂，…，a₁₀，是否一定可以经过有限次调整使其波动强度降为9；若可以，给出调整方案，若不可以，请给出反例并加以说明．