2012年浙江省宁波市鄞州区高三3月适应性考试数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设全集U=R，集合A={-2，0，2，4}，B={x|x²-2x-3＞0}，则A∩C_UB=（ ）
A．{0}
B．{2}
C．{0，2}
D．{0，2，4}

2. 难度：中等

已知i是虚数单位，则=（ ）
A．2+i
B．2-i
C．-2+i
D．-2-i

3. 难度：中等

已知x，y满足条件，则3x-4y的最大值为（ ）
A．1
B．-1
C．5
D．-5

4. 难度：中等

若a，b都是实数，则“”是“a²-b²＞0”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

5. 难度：中等

m、n表示直线，α、β、γ表示平面，给出下列四个命题，其中正确命题为（ ）
①α∩β=m，n⊂α，n⊥m，则α⊥β 
②α⊥β，α∩γ=m，β∩γ=n，则m⊥n
③α⊥β，α⊥γ，β∩γ=m，则m⊥α  
④m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β
A．①②
B．②③
C．③④
D．②④

6. 难度：中等

某程序框图如图所示，该程序运行后输出的s值为（ ）

A．26
B．102
C．410
D．614

7. 难度：中等

已知对任意x∈R恒成立，且a₁=9，a₂=36，则b=（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

8. 难度：中等

袋中共有7个大小相同的球，其中3个红球、2个白球、2个黑球．若从袋中任取3个球，则所取3个球中至少有2个红球的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

在Rt△ABC中，AC=2，BC=2，已知点P是△ABC内一点，则的最小值是（ ）
A．-2
B．-1
C．0
D．1

10. 难度：中等

设集合A={0，1，2，3，4，5，6，7}，如果方程x²-mx-n=0（m，n∈A）至少有一个根x∈A，就称该方程为合格方程，则合格方程的个数为（ ）
A．15
B．16
C．17
D．18

二、解答题

11. 难度：中等

已知，则f（2）+f（-2）的值等于    ．

12. 难度：中等

已知，那么cos2x=    ．

13. 难度：中等

已知一个空间几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积是    ．

14. 难度：中等

将编号为1到4的4个小球放入编号为1到4的4个盒子，每个盒子放1个球，记随机变量ξ为小球编号与盒子编号不一致的数目，则ξ的数学期望是    ．

15. 难度：中等

过双曲线G：（a＞0，b＞0）的右顶点A作斜率为1的直线m，分别与两渐近线交于B，C两点，若|AB|=2|AC|，则双曲线G的离心率为    ．

16. 难度：中等

已知关于n的不等式2n²-n-3＜（5-λ）（n+1）2ⁿ对任意n∈N^*恒成立，则实数λ的取值范围是    ．

17. 难度：中等

如图，ABCD是边长为4的正方形，动点P在以AB为直径的圆弧APB上，则的取值范围是    ．

18. 难度：中等

已知函数，x∈R．
（I） 当时，求f（x）的值；
（Ⅱ）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，b+c=2．求a的最小值．

19. 难度：中等

已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n+a_n=1．
（I） 求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b_n}满足b_n=（n-2）a_n，且数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：数列{2ⁿT_n}为等差数列．

20. 难度：中等

如图，在直角梯形ABCP中，AB=BC=3，AP=6，CD⊥AP于D，现将△PCD沿线段CD折成60°的二面角P-CD-A，设E，F，G分别是PD，PC，BC的中点．

（Ⅰ） 求证：PA∥平面EFG；
（II）若M为线段CD上的动点，问点M在什么位置时，直线MF与平面EFG所成角为60°．

21. 难度：中等

已知椭圆E：，设该椭圆上的点到左焦点F（-c，0）的最大距离为d₁，到右顶点A（a，0）的最大距离为d₂．
（Ⅰ） 若d₁=3，d₂=4，求椭圆E的方程；
（Ⅱ） 设该椭圆上的点到上顶点B（0，b）的最大距离为d₃，求证：．

22. 难度：中等

设函数f（x）=ax²+bx+clnx，（其中a，b，c为实常数且a＞0），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=3x-3．
（Ⅰ） 若函数f（x）无极值点且f'（x）存在零点，求a，b，c的值；
（Ⅱ） 若函数f（x）有两个极值点，证明f（x）的极小值小于．