2012年东北三省三校高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合M={1，2，3}，N={2，3，4}，则（ ）
A．M⊆N
B．N⊆M
C．M∩N={2，3}
D．M∪N={1，4}

2. 难度：中等

已知z=1-i（i是虚数单位），则=（ ）
A．2
B．2i
C．2+4i
D．2-4i

3. 难度：中等

在的展开式中，x的幂指数是整数的项共有（ ）
A．4项
B．5项
C．6项
D．7项

4. 难度：中等

向量与向量的夹角为π，，若点A的坐标是（1，2），则点B的坐标为（ ）
A．（-7，8）
B．（9，-4）
C．（-5，10）
D．（7，-6）

5. 难度：中等

如图所示的程序框图输出的结果是（ ）

A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

已知，则sinθ-cosθ的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

若m，n∈N^*，则“a＞b”是“a^m+n+b^m+n＞aⁿb^m+a^mbⁿ”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

8. 难度：中等

一个几何体的三视图如图所示（单位长度：cm），俯视图中圆与四边形相切，且该几何体的体积为，则该几何体的高h为（ ）

A．πcm
B．
C．
D．

9. 难度：中等

若抛物线y²=2px（p＞0）上一点到焦点和抛物线的对称轴的距离分别为10和6，则p的值为（ ）
A．2
B．18
C．2或18
D．4或16

10. 难度：中等

设函数与函数的对称轴完全相同，则ϕ的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

已知半径为5的球O被互相垂直的两个平面所截，得到的两个圆的公共弦为4，若其中的一圆的半径为4，则另一圆的半径为（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

设f（x）在区间（-∞，+∞）可导，其导数为f′（x），给出下列四组条件p是q的充分条件的是（ ）
①p：f（x）是奇函数，q：f′（x）是偶函数
②p：f（x）是以T为周期的函数，q：f′（x）是以T为周期的函数
③p：f（x）在区间（-∞，+∞）上为增函数，q：f′（x）＞0在（-∞，+∞）恒成立
④p：f（x）在x处取得极值，q：f′（x）=0．
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．②③④

二、解答题

13. 难度：中等

已知双曲线的离心率e=2，则其渐近线方程为    ．

14. 难度：中等

若任取x，y∈[0，1]，则点P（x，y）满足y＞x²的概率为    ．

15. 难度：中等

已知M，N为平面区域内的两个动点，向量则的最大值是    ．

16. 难度：中等

设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则b²+c²的取值范围为    ．

17. 难度：中等

公差不为零的等差数列{a_n}中，a₃=7，且a₂，a₄，a₉成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设a_n=b_n+1-b_n，b₁=1，求数列{b_n}的通项公式．

18. 难度：中等

实验中学的三名学生甲、乙、丙参加某大学自主招生考核测试，在本次考核中只有合格和优秀两个等次，若考核为合格，则授予10分降分资格；考核优秀，授予20分降分资格．假设甲乙丙考核为优秀的概率分别为、、，他们考核所得的等次相互独立．
（1）求在这次考核中，甲乙丙三名同学中至少有一名考核为优秀的概率．
（2）记在这次考核中甲乙丙三名同学所得降分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ．

19. 难度：中等

如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，PD=DC=2AD，AD⊥DC，∠BCD=45°．
（1）设PD的中点为M，求证：AM∥平面PBC；
（2）求PA与平面PBC所成角的正弦值．

20. 难度：中等

已知椭圆C：，F为其右焦点，过F垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l：y=kx+m（km≠0）与椭圆C交于A、B两点，若线段AB中点在直线x+2y=0上，求△FAB的面积的最大值．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=ln（1+x），，函数y=f（x）与函数y=g（x）的图象在交点（0，0）处有公共切线
（1）求a、b；
（2）证明：f（x）≤g（x）；
（3）对任意的x₁、x₂∈（-1，+∞），（x₁＜x₂），当x∈（x₁，x₂）时，证明：．

22. 难度：中等

如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交⊙O于N，过N点的切线交CA的延长线于P．
（1）求证：PM²=PA•PC；
（2）若⊙O的半径为2，OA=OM，求MN的长．

23. 难度：中等

选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为它与曲线C：（y-2）²-x²=1交于A、B两点．
（1）求|AB|的长；
（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P的极坐标为，求点P到线段AB中点M的距离．

24. 难度：中等

选修4-5：不等式选讲
设函数f（x）=|x-1|+|x-a|（a∈R）
（1）当a=4时，求不等式f（x）≥5的解集；
（2）若f（x）≥4对x∈R恒成立，求a的取值范围．