2012年湖北省高考数学压轴卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合M={-1，0，1}，N={a，a²}则使M∩N=N成立的a的值是（ ）
A．1
B．0
C．-1
D．1或-1

2. 难度：中等

若（a-2i）i=b-i，其中a，b∈R，i是虚数单位，则复数a+bi=（ ）
A．1+2i
B．-1+2i
C．-1-2i
D．1-2i

3. 难度：中等

如果随机变量ξ～N（μ，σ²），且Eξ=3，Dξ=1，则P（-1＜ξ≤1）等于（ ）
A．2Φ（1）-1
B．Φ（4）-Φ（2）
C．Φ（2）-Φ（4）
D．Φ（-4）-Φ（-2）

4. 难度：中等

设k∈R，下列向量中，与向量=（1，-1）一定不平行的向量是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的全面积是（单位：m²）．（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

设函数的图象关于直线x=对称，它的周期是π，则（ ）
A．f（x）的图象过点（0，）
B．f（x）在[]上是减函数
C．f（x）的一个对称中心是（，0）
D．将f（x）的图象向右平移|φ|个单位得到函数y=3sinωx的图象

7. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，则输出的S=（ ）

A．258
B．642
C．780
D．1538

8. 难度：中等

双曲线（a≥1，b≥1）的离心率为2，则的最小值为（ ）
A．
B．
C．2
D．

9. 难度：中等

若a满足x+lgx=4，b满足x+10^x=4，函数f（x）=，则关于x的方程f（x）=x的解的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

10. 难度：中等

设O是正三棱锥P-ABC的底面△ABC的中心，过O的动平面与PC交于S，与PA、PB的延长线分别交于Q、R，则（ ）
A．有最大值而无最小值
B．有最小值而无最大值
C．无最大值也无最小值
D．是与平面QRS无关的常数

二、解答题

11. 难度：中等

若对于任意实数x，有x³=a+a₁（x-2）+a₂（x-2）²+a₃（x-2）³，则a₂的值为    ．

12. 难度：中等

若点P（cosα，sinα）在直线y=-2x上，则sin2α+2cos2α=    ．

13. 难度：中等

如图所示高脚杯的轴截面是方程为x²=2py（p＞0）的抛物线，现放一半径为r小球到高脚杯中，若小球能落到杯子底部，则小球的半径r的取值范围为    ．

14. 难度：中等

由9个正数组成的数阵 每行中的三个数成等差数列，且a₁₁+a₁₂+a₁₃，a₂₁+a₂₂+a₂₃，a₃₁+a₃₂+a₃₃成等比数列．给出下列结论：
①第二列中的a₁₂，a₂₂，a₃₂必成等比数列；
②第一列中的a₁₁，a₂₁，a₃₁不一定成等比数列；
③a₁₂+a₃₂≥a₂₁+a₂₃；
④若9个数之和大于81，则a₂₂＞9．
其中正确的序号有    ．（填写所有正确结论的序号）．

15. 难度：中等

如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，CD⊥AB，垂足为D，且AD=5DB，设∠COD=θ，则tanθ的值为    ．

16. 难度：中等

（选修4-4：坐标系与参数方程）
已知直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为．以直角坐标系xOy中的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，圆C的极坐标方程为ρ²-4ρcosθ+3=0，则圆心C到直线l距离为    ．

17. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，=（2a，1），=（2b-c，cosC）且∥．
求：
（I）求sinA的值；
（II）求三角函数式的取值范围．

18. 难度：中等

某高中为了推进新课程改革，满足不同层次学生的需求，决定从高一年级开始，在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座，每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座，也可以放弃任何一门科目的辅导讲座．（规定：各科达到预先设定的人数时称为满座，否则称为不满座）统计数据表明，各学科讲座各天的满座的概率如下表：

	信息技术	生物	化学	物理	数学
周一
周三
周五

根据上表：
（1）求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率；
（2）设周三各辅导讲座满座的科目数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．

19. 难度：中等

如图所示，四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥CD，PA=1，PD=，E为PD上一点，PE=2ED．
（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角D-AC-E的余弦值；
（Ⅲ）在侧棱PC上是否存在一点F，使得BF∥平面AEC？若存在，指出F点的位置，并证明；若不存在，说明理由．

20. 难度：中等

如图，F₁、F₂分别为椭圆的焦点，椭圆的右准线l与x轴交于A点，若F₁（-1，0），且．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过F₁、F₂作互相垂直的两直线分别与椭圆交于P、Q、M、N四点，求四边形PMQN面积的取值范围．

21. 难度：中等

已知数列a_n满足
（1）求数列a_n的通项公式a_n；
（2）设，求数列b_n的前n项和S_n；
（3）设，数列c_n的前n项和为T_n．求证：对任意的．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=lnax-（a≠0）．
（Ⅰ）求此函数的单调区间及最值；
（Ⅱ）求证：a=1时，对于任意正整数n，均有1+++…+≥ln；
（Ⅲ）当a=1时，是否存在过点（1，-1）的直线与函数y=f（x）的图象相切？若存在，有多少条？若不存在，说明理由．