2012年河北省衡水中学高考数学二模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知U=R，A={x|x＞0}，B={x|x≤-1}，则（A∩∁_UB）∪（B∩∁_UA）=（ ）
A．∅
B．{x|x≤0}
C．{x|x＞-1}
D．{x|x＞0或x≤-1}

2. 难度：中等

已知复数Z满足（1+2i³）Z=1+2i，则Z等于（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

已知x为实数，条件p：x²＜x，条件q：≥1，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

下列推理是归纳推理的是（ ）
A．A，B为定点，动点P满足|PA|+|PB|=2a＞|AB|，得P的轨迹为椭圆
B．由a₁=1，a_n=3n-1，求出S₁，S₂，S₃，猜想出数列的前n项和S_n的表达式
C．由圆x²+y²=r²的面积πr²，猜想出椭圆+=1的面积S=πab
D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇

5. 难度：中等

已知等差数列1，a，b，等比数列3，a+2，b+5，则该等差数列的公差为（ ）
A．3或-3
B．3或-1
C．3
D．-3

6. 难度：中等

如图框图，当x₁=6，x₂=9，p=8.5时，x₃等于（ ）

A．7
B．8
C．10
D．11

7. 难度：中等

从一个棱长为1的正方体中切去一部分，得到一个几何体，其三视图如图，则该几何体的体积为（ ）

A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知函教f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象与直线y=b（0＜b＜A）的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则f（x）的单调递增区间是（ ）
A．[6kπ，6kπ+3]，k∈Z
B．[6k-3，6k]，k∈Z
C．[6k，6k+3]，k∈Z
D．[6kπ-3，6kπ]，k∈Z

9. 难度：中等

定义在R上的偶函数f（x-2），当x＞-2时，f（x）=e^x+1-2（e为自然对数的底数），若存在k∈Z，使方程f（x）=0的实数根x∈（k-1，k），则k的取值集合是（ ）
A．{0}
B．{-3}
C．{-4，0}
D．{-3，0}

10. 难度：中等

设∠POQ=60°在OP、OQ上分别有动点A，B，若=6，△OAB的重心是G，则||的最小值是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

11. 难度：中等

已知函数有两个极值点x₁，x₂且x₁，x₂满足-1＜x₁＜1＜x₂＜2，则直线bx-（a-1）y+3=0的斜率的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

已知函数的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的前n项的和为S_n，则S₁₀=（ ）
A．
B．2⁹-1
C．45
D．55

二、解答题

13. 难度：中等

已知α∈（，），tan（α-7π）=-，则sinα+cosα的值为    ．

14. 难度：中等

如图，正四面体ABCD的外接球球心为D，E是BC的中点，则直线OE与平面BCD所成角的正切值为    ．

15. 难度：中等

设点p是椭圆（a＞0，b＞0）上一点，F₁，F₂分别是椭圆的左、右焦点，I为△PF₁F₂的内心，若 S_△IPF1+S_△IPF2=2S_△IF1F2，则该椭圆的离心率是    ．

16. 难度：中等

给出以下四个结论：
（1）若关于x的方程在x∈（0，1）没有实数根，则k的取值范围是k≥2
（2）曲线与直线y=k（x-2）+4有两个交点时，实数k的取值范围是
（3）已知点P（a，b）与点Q（1，0）在直线2x-3y+1=0两侧，则3b-2a＞1；
（4）若将函数的图象向右平移ϕ（ϕ＞0）个单位后变为偶函数，则ϕ的最小值是，其中正确的结论是：    ．

17. 难度：中等

已知在△ABC中，A＞B，且tanA与tanB是方程x²-5x+6=0的两个根．
（Ⅰ）求tan（A+B）的值；
（Ⅱ）若AB=5，求BC的长．

18. 难度：中等

如图是某直三棱柱（侧棱与底面垂直）被削去上底后的直观图与三视图的侧视图、俯视图，在直观图中，M是BD的中点，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示．
（Ⅰ）求出该几何体的体积．
（Ⅱ）若N是BC的中点，求证：AN∥平面CME；
（Ⅲ）求证：平面BDE⊥平面BCD．

19. 难度：中等

某校高三（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：

（Ⅰ）求全班人数；
（Ⅱ）求分数在[80，90）之间的人数；并计算频率分布直方图中[80，90）间的矩形的高；
（Ⅲ）若要从分数在[80，100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在[90，100]之间的概率．

20. 难度：中等

设椭圆中心在坐标原点，A（2，0），B（0，1）是它的两个顶点，直线y=kx（k＞0）与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．
（Ⅰ）若，求k的值；
（Ⅱ）求四边形AEBF面积的最大值．

21. 难度：中等

已知定义在正实数集上的函数，g（x）=3e²lnx+b（其中e为常数，e=2.71828…），若这两个函数的图象有公共点，且在该点处的切线相同．
（Ⅰ）求实数b的值；
（Ⅱ）当x∈[1，e]时，恒成立，求实数a的取值范围．

22. 难度：中等

如图，A、B、C、D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC=ED．
（Ⅰ）证明：CD∥AB；
（Ⅱ）延长CD到F，延长DC到G，使得EF=EG，证明：A、B、G、F四点共圆．

23. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C₁：x²+y²=1，以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l：ρ（2cosθ-sinθ）=6．
（1）将曲线C₁上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的、2倍后得到曲线C₂，试写出直线l的直角坐标方程和曲线C₂的参数方程；
（2）在曲线C₂上求一点P，使点P到直线l的距离最大，并求出此最大值．

24. 难度：中等

（选做题）已知函数f（x）=|x-a|．
（Ⅰ）若不等式f（x）≥3的解集为{x|x≤1或x≥5}，求实数a的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若f（x）+f（x+4）≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．