2011-2012学年河南省中原六校高三第一次联考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={1，3，5，7，9}，B={0，3，6，9，12}，则A∩∁_NB=（ ）
A．{1，5，7}
B．{3，5，7}
C．{1，3，9}
D．{1，2，3}

2. 难度：中等

己知i为虚数单位，则=（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

设α、β为两个不同的平面，m、n为两条不同的直线，且m⊂α，n⊂β，有两命题：p：若m∥n，则α∥β；q：若m⊥β，则α⊥β；那么（ ）
A．“p或q”是假命题
B．“p且q”是真命题
C．“非p或q”是假命题
D．“非p且q”是真命题

4. 难度：中等

“m＜l”是“函数f（x）=x+mx+m有零点”的（ ）
A．充分非必要条件
B．充要条件
C．必要非充分条件
D．非充分必要条件

5. 难度：中等

已知函数f（x）=（cos2xcosx+sin2xsinx）sinx，x∈R，则f（x）是（ ）
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为的奇函数
D．最小正周期为的偶函数

6. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）

A．1
B．-1
C．-2
D．0

7. 难度：中等

若某空间几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图的下边长都是2，则该几何体的体积（ ）

A．20-2π
B．
C．
D．

8. 难度：中等

设{a_n}是公比为q的等比数列，令b_n=a_n+1（n=1，2，…），若数列{b_n}的连续四项在集合{-53，-23，19，37，82}中，则q等于（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

变量x，y满足，目标函数z=2x+y，则有（ ）
A．z_min=3，z无最大值
B．z_max=12，z无最小值
C．z_max=12，z_min=3
D．z既无最大值，也无最小值

10. 难度：中等

已知圆（x-a）²+（y-b）²=r²的圆心为抛物线y²=4x的焦点，且与直线3x+4y+2=0相切，则该圆的方程为（ ）
A．
B．
C．（x-1）²+y²=1
D．x²+（y-1）²=1

11. 难度：中等

已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG是边长为2的等边三角形，则f（1）的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

设f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y=f（x）-g（x）在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f（x）和g（x）在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f（x）=x²-3x+4与g（x）=2x+m在[0，3]上是“关联函数”，则m的取值范围为（ ）
A．（-，-2]
B．[-1，0]
C．（-∞，-2]
D．（-，+∞）

二、解答题

13. 难度：中等

已知，且与垂直，则的夹角是    ．

14. 难度：中等

已知直线ax+y+2=0与双曲线的一条渐近线平行，则这两条平行直线之间的距离是    ．

15. 难度：中等

四棱锥P-ABCD的底面ABCD为正方形，且PD垂直于底面ABCD，N为PB中点，则三棱锥P-ANC与四棱锥P-ABCD的体积比为    ．

16. 难度：中等

已知函数（a是常数且a＞0）．对于下列命题：
①函数f（x）的最小值是-1；
②函数f（x）在R上是单调函数；
③若f（x）＞0在上恒成立，则a的取值范围是a＞1；
④对任意x₁＜0，x₂＜0且x₁≠x₂，恒有．
其中正确命题的序号是    ．

17. 难度：中等

已知△ABC的周长为，且．
（I）求边长a的值；
（II）若S_△ABC=3sinA，求cosA的值．

18. 难度：中等

如图l，在正方形ABCD中，AB=2，E是AB边的中点，F是BC边上的一点，对角线AC分别交DE、DF于M、N两点．将ADAE，CDCF折起，使A、C重合于A点，构成如图2所示的几何体．
（I）求证：A′D⊥面A′EF；
（Ⅱ）试探究：在图1中，F在什么位置时，能使折起后的几何体中EF∥平面AMN，并给出证明．

19. 难度：中等

某学校为调查高三年学生的身高情况，按随机抽样的方法抽取80名学生，得到男生身高情况的频率分布直方图（图（1）和女生身高情况的频率分布直方图（图（2））．已知图（1）中身高在170～175cm的男生人数有16人．
（I）试问在抽取的学生中，男、女生各有多少人？
（II）根据频率分布直方图，完成下列的2×2列联表，并判断能有多大（百分几）的把握认为“身高与性别有关”？

	≥170cm	＜170cm	总计
男生身高
女生身高
总计

（Ⅲ）在上述80名学生中，从身高在170～175cm之间的学生按男、女性别分层抽样的方法，抽出5人，从这5人中选派3人当旗手，求3人中恰好有一名女生的概率．

20. 难度：中等

已知椭圆右顶点与右焦点的距离为，短轴长为．
（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过左焦点F的直线与椭圆分别交于A、B两点，若三角形OAB的面积为，求直线AB的方程．

21. 难度：中等

设函数f（x）=alnx-bx²（x＞0）；
（1）若函数f（x）在x=1处与直线相切
①求实数a，b的值；
②求函数上的最大值．
（2）当b=0时，若不等式f（x）≥m+x对所有的都成立，求实数m的取值范围．

22. 难度：中等

选修4-1：几何证明选讲
如图，直线AB经过圆上O的点C，并且OA=OB，CA=CB，圆O交于直线OB于E，D，连接EC，CD，若tan∠CED=，圆O的半径为3，求OA的长．

23. 难度：中等

选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xoy中，圆C的参数方程为以O为极点，x轴的非负半轴为极轴，并取相同的长度单位建立极坐标系，直线l的极坐标方程．
（I）求圆心的极坐标．
（II）若圆C上点到直线l的最大距离为3，求r的值．

24. 难度：中等

选修4-5：不等式选讲
已知函数f（x）=|2x+1|，g（x）=|x|+a-1
（1）当a=1，解不等式f（x）≥g（x）；
（2）若存在x∈R，使得f（x）≤g（x）成立，求实数a的取值范围．