2012年北京市西城区高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集U=R，集合，则∁_UA（ ）
A．（0，1）
B．（0，1]
C．（-∞，0]∪（1，+∞）
D．（-∞，0）∪[1，+∞）

2. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，若输入x=2，则输出y的值为（ ）

A．2
B．5
C．11
D．23

3. 难度：中等

若实数x，y满足条件则z=2x-y的最大值为（ ）
A．9
B．3
C．0
D．-3

4. 难度：中等

已知正六棱柱的底面边长和侧棱长均为2cm，其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是（ ）

A．
B．
C．8cm²
D．4cm²

5. 难度：中等

已知函数f（x）=sin⁴ωx-cos⁴ωx的最小正周期是π，那么正数ω=（ ）
A．2
B．1
C．
D．

6. 难度：中等

若a=log₂3，b=log₃2，c=log₄6，则下列结论正确的是（ ）
A．b＜a＜c
B．a＜b＜c
C．c＜b＜a
D．b＜c＜a

7. 难度：中等

设等比数列{a_n}的各项均为正数，公比为q，前n项和为S_n．若对∀n∈N^*，有S_2n＜3S_n，则q的取值范围是（ ）
A．（0，1]
B．（0，2）
C．[1，2）
D．

8. 难度：中等

已知集合，其中a_k∈{0，1，2}（k=0，1，2，3），且a₃≠0．则A中所有元素之和等于（ ）
A．3240
B．3120
C．2997
D．2889

二、解答题

9. 难度：中等

某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间．将测试结果分成5组：[13，14），[14，15），[15，16），[16，17），[17，18]，得到如图所示的频率分布直方图．如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1：3：7：6：3，那么成绩在[16，18]的学生人数是    ．

10. 难度：中等

（x-2）⁶的展开式中，x³的系数是    ．（用数字作答）

11. 难度：中等

如图，AC为⊙O的直径，OB⊥AC，弦BN交AC于点M．若OC=，OM=1，则MN=    ．

12. 难度：中等

在极坐标系中，极点到直线l：的距离是    ．

13. 难度：中等

已知函数其中c＞0．那么f（x）的零点是    ；若f（x）的值域是，则c的取值范围是    ．

14. 难度：中等

在直角坐标系xOy中，动点A，B分别在射线和上运动，且△OAB的面积为1．则点A，B的横坐标之积为    ；△OAB周长的最小值是    ．

15. 难度：中等

在△ABC中，已知sin（A+B）=sinB+sin（A-B）．
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）若，，求．

16. 难度：中等

乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制（即先胜4局者获胜，比赛结束），假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同．
（Ⅰ）求甲以4比1获胜的概率；
（Ⅱ）求乙获胜且比赛局数多于5局的概率；
（Ⅲ）求比赛局数的分布列．

17. 难度：中等

如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，∠DAB=∠DBF=60°，且FA=FC．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDEF；
（Ⅱ）求证：FC∥平面EAD；
（Ⅲ）求二面角A-FC-B的余弦值．

18. 难度：中等

已知函数，其中a≥-1．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间．

19. 难度：中等

已知椭圆C：的离心率为，定点M（2，0），椭圆短轴的端点是B₁，B₂，且MB₁⊥MB₂．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设过点M且斜率不为0的直线交椭圆C于A，B两点．试问x轴上是否存在定点P，使PM平分∠APB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

20. 难度：中等

对于数列A_n：a₁，a₂，…，a_n（a_i∈N，i=1，2，…，n），定义“T变换”：T将数列A_n变换成数列B_n：b₁，b₂，…，b_n，其中b_i=|a_i-a_i+1|（i=1，2，…，n-1），且b_n=|a_n-a₁|，这种“T变换”记作B_n=T（A_n）．继续对数列B_n进行“T变换”，得到数列C_n，…，依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束．
（Ⅰ）试问A₃：4，2，8和A₄：1，4，2，9经过不断的“T变换”能否结束？若能，请依次写出经过“T变换”得到的各数列；若不能，说明理由；
（Ⅱ）求A₃：a₁，a₂，a₃经过有限次“T变换”后能够结束的充要条件；
（Ⅲ）证明：A₄：a₁，a₂，a₃，a₄一定能经过有限次“T变换”后结束．