2012年北京市房山区高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合M={a，0}，N={x|2x²-5x＜0，x∈Z}，若M∩N≠Φ，则a等于（ ）
A．1
B．2
C．1或2.5
D．1或2

2. 难度：中等

如果，，那么“∥”是“k=-2”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

如图，PA是圆O的切线，切点为A，PO交圆O于B，C两点，，则∠ABC=（ ）

A．70°
B．60°
C．45°
D．30°

4. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，点P的直角坐标为、若以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P的极坐标可以是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，则输出的n的值为（ ）

A．5
B．6
C．7
D．8

6. 难度：中等

已知函数，则对任意x₁，x₂∈R，若0＜|x₁|＜|x₂|，下列不等式成立的是（ ）
A．f（x₁）+f（x₂）＜0
B．f（x₁）+f（x₂）＞0
C．f（x₁）-f（x₂）＞0
D．f（x₁）-f（x₂）＜0

7. 难度：中等

直线y=kx+3与圆（x-1）²+（y+2）²=4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

如图，边长为1的正方形ABCD的顶点A，D分别在x轴、y轴正半轴上移动，则的最大值是（ ）
A．2
B．
C．π
D．4

二、解答题

9. 难度：中等

i是虚数单位，则=    ．

10. 难度：中等

一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为    ．

11. 难度：中等

已知函数f（x）=sin（ωx+ϕ）（ω＞0，0＜ϕ＜π）的图象如图所示，则ω=    ，φ=    ．

12. 难度：中等

如果在一周内安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余两所学校均只参观一天，那么不同的安排方法共有    种．

13. 难度：中等

设f（x）是定义在R上不为零的函数，对任意x，y∈R，都有f（x）•f（y）=f（x+y），若，则数列{a_n}的前n项和的取值范围是    ．

14. 难度：中等

F是抛物线y²=2px（p＞0）的焦点，过焦点F且倾斜角为θ的直线交抛物线于A，B两点，设|AF|=a，|BF|=b，则：
①若θ=60°且a＞b，则的值为    ；②a+b=    （用p和θ表示）．

15. 难度：中等

已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，a=2，．
（Ⅰ）求tan（A+B）的值；
（Ⅱ）求△ABC的面积．

16. 难度：中等

今年雷锋日，某中学从高中三个年级选派4名教师和20名学生去当雷锋志愿者，学生的名额分配如下：

高一年级	高二年级	高三年级
10人	6人	4人

（I）若从20名学生中选出3人参加文明交通宣传，求他们中恰好有1人是高一年级学生的概率；
（II）若将4名教师安排到三个年级（假设每名教师加入各年级是等可能的，且各位教师的选择是相互独立的），记安排到高一年级的教师人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．

17. 难度：中等

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC=CC₁=AB=2，AB⊥BC．点M，N分别是CC₁，B₁C的中点，G是棱AB上的动点．
（I）求证：B₁C⊥平面BNG；
（II）若CG∥平面AB₁M，试确定G点的位置，并给出证明；
（III）求二面角M-AB₁-B的余弦值．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=ln（1+x）-mx．
（I）当m=1时，求函数f（x）的单调递减区间；
（II）求函数f（x）的极值；
（III）若函数f（x）在区间[0，e²-1]上恰有两个零点，求m的取值范围．

19. 难度：中等

已知椭圆G的中心在坐标原点，焦点在x轴上，一个顶点为A（0，-1），离心率为．
（I）求椭圆G的方程；
（II）设直线y=kx+m与椭圆相交于不同的两点M，N．当|AM|=|AN|时，求m的取值范围．

20. 难度：中等

在直角坐标平面上有一点列P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n），…，对一切正整数n，点P_n在函数的图象上，且P_n的横坐标构成以为首项，-1为公差的等差数列{x_n}．
（1）求点P_n的坐标；
（2）设抛物线列C₁，C₂，C₃，…，C_n，…中的每一条的对称轴都垂直于x轴，抛物线C_n的顶点为P_n，且过点D_n（0，n²+1）．记与抛物线C_n相切于点D_n的直线的斜率为k_n，求；
（3）设S={x|x=2x_n，n∈N*}，T={y|y=4y_n，n∈N*}，等差数列{a_n}的任一项a_n∈S∩T，其中a₁是S∩T中的最大数，-265＜a₁₀＜-125，求数列{a_n}的通项公式．