2011-2012学年甘肃省天水一中高三（下）第四次检测数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

如果复数z=a²-4+（a²-3a+2）i（a∈R）是纯虚数，则实数a的值为（ ）
A．-2
B．1
C．2
D．1或-2

2. 难度：中等

函数y=-1（x≥-1）的反函数是（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

曲线在点（0，1）处的切线方程为（ ）
A．y=2x+1
B．y=2x-1
C．y=x+1
D．y=-x+1

4. 难度：中等

已知向量满足，则与的夹角等于（ ）
A．30°
B．60°
C．120°
D．90°

5. 难度：中等

设α表示平面，a、b表示两条不同的直线，给定下列四个命题：
①若a∥α，a⊥b，则b⊥α；
②若a∥b，a⊥α，则b⊥α；
③若a⊥α，a⊥b，则b∥α；
④若a⊥α，b⊥α，则a∥b．
其中为假命题的是（ ）
A．②③
B．①③
C．②④
D．①③④

6. 难度：中等

若，则四个结论：①|a|＞|b|；②a+b＜ab；；正确的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

7. 难度：中等

若的展开式中只有第4项的系数最大，那么这个展开式中的常数项是（ ）
A．15
B．35
C．30
D．20

8. 难度：中等

为得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（ ）
A．向左平移个长度单位
B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位
D．向右平移个长度单位

9. 难度：中等

设S_n是等差数列{a_n}的前n项和，若 S₄≥10，S₅≤15，S₇≥21，则a₇的取值区间为（ ）
A．（-∞，7]
B．[3，4]
C．[4，7]
D．[3，7]

10. 难度：中等

一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

设抛物线M：y²=2px（p＞0）的焦点F是双曲线右焦点．若M与N的公共弦AB恰好过F，则双曲线N的离心率e的值为（ ）
A．
B．
C．
D．2

12. 难度：中等

若直角坐标平面内A、B两点满足条件：①点A、B都在f（x）的图象上；②点A、B关于原点对称，则对称点对（A，B）是函数的一个“姊妹点对”（点对（A，B）与（B，A）可看作同一个“姊妹点对”）．已知函数 f（x）=，则f（x）的“姊妹点对”有（ ）个．
A．1
B．2
C．3
D．4

二、解答题

13. 难度：中等

已知函数f（x）=，则不等式f（x）≥1的解集为    ．

14. 难度：中等

已知抛物线y²=4x的焦点为F，准线与x轴的交点为M，N为抛物线上的一点，则满足=    ．

15. 难度：中等

设等比数列{a_n}的前n项之和为S_n，已知a₁=2011，且，则S₂₀₁₂=    ．

16. 难度：中等

已知定义域为（0，+∞）的函数f（x）满足：
（1）对任意x∈（0，+∞），恒有f（2x）=2f（x）成立；
（2）当x∈（1，2]时f（x）=2-x给出结论如下：
①任意m∈Z，有f（2^m）=0；
②函数f（x）的值域为[0，+∞）；
③存在n∈Z，使得f（2ⁿ+1）=9；
④“函数f（x）在区间（a，b）上单调递减”的充要条件是“存在k∈Z，使得（a，b）⊆（2^k，2^k-1）．
其中所有正确结论的序号是    

17. 难度：中等

在三角形ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，=（2b-c，cosC），=（a，cosA），且∥．
（1）求角A的大小；
（2）当＜B＜时，求函数y=2sin²B+cos（-2B）的值域．

18. 难度：中等

已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧面A₁ACC₁与底面ABC垂直，∠ABC=90°，BC=2，AC=2，且AA₁⊥A₁C，AA₁=A₁C．
①求侧面A₁ABB₁与底面ABC所成锐二面角的大小；
②求顶点C到侧面A₁ABB₁的距离．

19. 难度：中等

某班同学利用五一节进行社会实践，对[25，55]岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念，则称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：

组数	分组	低碳族 的人数	占本组 的频率
1	[25，30）	120	0.6
2	[30，35）	195	P
3	[35，40）	100	0.5
4	[40，45）	a	0.4
5	[45，50）	30	0.3
6	[50，55）	15	0.3

（1）请补全频率分布直方图，并求n、a、p的值；
（2）在所得样本中，从[40，50）岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取18人参加户外低碳体验活动，其中选取3人作为领队，记选取的3名领队中年龄在[40，45）岁的人数为X，求X的分布列和数学期望EX．

20. 难度：中等

已知数列a_n的前n项和
（1）令b_n=2ⁿa_n，求证：数列b_n是等差数列，并求数列a_n的通项公式．
（2）令，试比较T_n与的大小，并予以证明．

21. 难度：中等

已知椭圆C₁、抛物线C₂的焦点均在x轴上，C₁的中心和C₂的顶点均为原点O，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：

x	3	-2	4
y	-2		-4

（Ⅰ）求C₁、C₂的标准方程；
（Ⅱ）请问是否存在直线l满足条件：①过C₂的焦点F；②与C₁交不同两点M、N且满足？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

22. 难度：中等

已知函数是自然对数的底数，e≈2.71）
（1）当a=-15时，求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）在区间上是增函数，求实数a的取值范围；
（3）证明对一切n∈N^*恒成立．