2012年湖南省湘潭市高考数学三模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

下列函数中，周期为的是（ ）
A．
B．y=sin2
C．
D．y=cos4

2. 难度：中等

双曲线方程为x²-2y²=1，则它的右焦点坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

函数的零点所在区间是（ ）
A．
B．
C．（1，2）
D．（2，3）

4. 难度：中等

下列说法中，正确的是（ ）
A．命题“若am²＜bm²，则a＜b”的逆命题是真命题
B．命题“∃x∈R，x²-x＞0”的否定是“∀x∈R，x²-x≤0”
C．命题“p∨q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题
D．已知x∈R，则“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件

5. 难度：中等

求曲线y=x²与y=x所围成图形的面积，其中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

在数列{a_n}中，a₁=1，a_n-a_n-1=n，n∈N^*，则a₈的值为（ ）
A．35
B．36
C．37
D．38

7. 难度：中等

若，若z=x+2y的最大值为3，则a的值是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

8. 难度：中等

函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）的图象关于直线对称．据此可推测，对任意的非零实数a，b，c，m，n，p，关于x的方程m[f（x）]²+nf（x）+p=0的解集都不可能是（ ）
A．{1，2}
B．{1，4}
C．{1，2，3，4}
D．{1，4，16，64}

二、解答题

9. 难度：中等

（优选法选做题）那霉素发酵液生物测定，一般都规定培养温度为（37±1）°C，培养时间在16小时以上，某制药厂为了缩短时间，决定优选培养温度，试验范围固定在32～45°C，精确度要求±1°C，用分数法安排实验，令第一试点在t₁处，第二试点在t₂处，则t₁+t₂=    ．

10. 难度：中等

已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，则曲线C上的点到直线（t为参数）的距离的最大值为    ．

11. 难度：中等

（几何证明选讲选做题）如图，半径为2的⊙O中，∠AOB=90°，D为OB的中点，AD的延长线交⊙O于点E，则线段DE的长为    ．

12. 难度：中等

已知随机变量ξ服从正态分布N（2，o²），则P（ξ＜2）=    ．

13. 难度：中等

已知抛物线y²=2px（p＞0）的准线与圆（x-3）²+y²=16相切，则p的值为    ．

14. 难度：中等

已知空间正四面体A-BCD，则异面直线AB和CD所成角的度数为    ．

15. 难度：中等

已知向量和的夹角为90°，，则=    ．

16. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点．定义P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂）两点之间的“直角距离”为d（P，Q）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|．若点A（-1，3），则d（A，O）=    ；已知点B（1，0），点M是直线kx-y+k+3=0（k＞0）上的动点，d（B，M）的最小值为    ．

17. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，a=4．
（Ⅰ）若，，求A的值；
（Ⅱ）若，求△ABC的面积．

18. 难度：中等

某种产品的广告支出x与销售额y（单位：百万元）之间有如下的对应关系

x	2	4	5	6	8
y	30	40	60	50	70

（1）假定x与y之间具有线性相关关系，求回归直线方程．
（2）若实际销售额不少于60百万元，则广告支出应该不少于多少？
参考公式：=，．

19. 难度：中等

已知正方形ABCD的边长为1，AC∩BD=O．将正方形ABCD沿对角线BD折起，使AC=1，得到三棱锥A-BCD，如图所示．
（1）求证：AO⊥平面BCD；
（2）求二面角A-BC-D．

20. 难度：中等

某种电子玩具按下按钮后，会出现红球或绿球，已知按钮第一次按下后，出现红球与绿球的概率都是，从按钮第二次按下起，若前次出现红球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为；若前次出现绿球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，记第n次按下按钮后出现红球的概率为P_n．
（1）求P₂的值；
（2）当n∈N^*，n≥2时，
①求用P_n-1表示P_n的表达式；
②求P_n关于n的表达式．

21. 难度：中等

给定椭圆＞b＞0），称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“准圆”．若椭圆C的一个焦点为，其短轴上的一个端点到F的距离为．
（1）求椭圆C的方程和其“准圆”方程．
（2）点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过点P作直线l₁，l₂，使得l₁，l₂与椭圆C都只有一个交点．求证：l₁⊥l₂．

22. 难度：中等

抛物线y=g（x）过点O（0，0）、A（m，0）与点P（m+1，m+1），其中m＞n＞0，b＜a，设函数f（x）=（x-n）g（x）在x=a和x=b处取到极值．
（1）用m，x表示y=g（x）并比较a，b，m，n的大小（要求按从小到大排列）；
（2）若，且过原点存在两条互相垂直的直线与曲线y=f（x）均相切，求y=f（x）．