2012年北京市西城区高考数学二模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知复数z满足（1-i）•z=1，则z=（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

给定函数：①y=x³；②y=x²-1；③y=sinx；④y=log₂x，其中奇函数是（ ）
A．①②
B．③④
C．①③
D．②④

3. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数：
①y=2^x；
②y=-2^x；
③f（x）=x+x^-1；
④f（x）=x-x^-1．
则输出函数的序号为（ ）
A．①
B．②
C．③
D．④

4. 难度：中等

设m，n表示不同的直线，α，β表示不同的平面，且m，n⊂α．则“α∥β”是“m∥β且n∥β”的（ ）
A．充分但不必要条件
B．必要但不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件

5. 难度：中等

已知双曲线x²-ky²=1的一个焦点是，则其渐近线的方程为（ ）
A．
B．y=±4
C．
D．y=±2

6. 难度：中等

如图是1，2两组各7名同学体重（单位：kg）数据的茎叶图．设1，2两组数据的平均数依次为和，标准差依次为s₁和s₂，那么（ ）（注：标准差，其中为x₁，x₂，…，x_n的平均数）

1组		2组
3  6  7  8          1       0  2	5 6 7	4  6  8 0  1 2  3

A．，s₁＞s₂
B．，s₁＜s₂
C．，s₁＜s₂
D．，s₁＞s₂

7. 难度：中等

某大楼共有12层，有11人在第1层上了电梯，他们分别要去第2至第12层，每层1人．因特殊原因，电梯只允许停1次，只可使1人如愿到达，其余10人都要步行到达所去的楼层．假设乘客每向下步行1层的“不满意度”增量为1，每向上步行1层的“不满意度”增量为2，10人的“不满意度”之和记为S．则S最小时，电梯所停的楼层是（ ）
A．7层
B．8层
C．9层
D．10层

8. 难度：中等

已知集合A={a₁，a₂，…，a₂₀}，其中a_k＞0（k=1，2，…，20），集合B={（a，b）|a∈A，b∈A，a-b∈A}，则集合B中的元素至多有（ ）
A．210个
B．200个
C．190个
D．180个

二、解答题

9. 难度：中等

在△ABC中，，，，则B=    ．

10. 难度：中等

设变量x，y满足则2x+y的最小值是    ．

11. 难度：中等

已知向量=（x，-1），=（3，y），其中x随机选自集合{-1，1，3}，y随机选自集合{1，3}，那么⊥的概率是    ．

12. 难度：中等

已知函数f（x）=x²+bx+1是R上的偶函数，则实数b=    ；不等式f（x-1）＜x的解集为    ．

13. 难度：中等

一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，该几何体的体积是    ；若该几何体的所有顶点在同一球面上，则球的表面积是    ．

14. 难度：中等

已知曲线C的方程是，给出下列三个结论：
①曲线C与两坐标轴有公共点；
②曲线C既是中心对称图形，又是轴对称图形；
③若点P，Q在曲线C上，则|PQ|的最大值是．
其中，所有正确结论的序号是    ．

15. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，a₂+a₇=-23，a₃+a₈=-29．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{a_n+b_n}是首项为1，公比为c的等比数列，求{b_n}的前n项和S_n．

16. 难度：中等

已知函数的部分图象如图所示，其中ω＞0，．
（Ⅰ）求ω与φ的值；
（Ⅱ）若，求的值．

17. 难度：中等

如图，四棱锥E-ABCD中，EA=EB，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD．
（Ⅰ）求证：AB⊥ED；
（Ⅱ）线段EA上是否存在点F，使DF∥平面BCE？若存在，求出；若不存在，说明理由．

18. 难度：中等

已知函数，其中a∈R．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在原点处的切线方程；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间．

19. 难度：中等

已知椭圆的离心率为，且经过点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点P（0，2）的直线交椭圆C于A，B两点，求△AOB（O为原点）面积的最大值．

20. 难度：中等

若正整数，则称a₁×a₂×…×a_n为N的一个“分解积”．
（Ⅰ）当N分别等于6，7，8时，写出N的一个分解积，使其值最大；
（Ⅱ）当正整数N（N≥2）的分解积最大时，证明：中2的个数不超过2；
（Ⅲ）对任意给定的正整数N（N≥2），求出a_k（k=1，2，…，n），使得N的分解积最大．