2012年四川省成都七中高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={1，a²}，B={2a，-1}，若A∩B={4}，则实数a等于（ ）
A．4
B．0或4
C．0或2
D．2

2. 难度：中等

若复数z满足，则在复平面上复数z对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

3. 难度：中等

已知同时作用于某物体同一点的三个力对应向量分别为=（-2，-1），=（-3，2），=（4，-3），为使该物体处于平衡状态，现需在该点加上一个力，若∥，则可为（ ）
A．（-2，-4）
B．（2，-4）
C．（-4，-2）
D．（-4，2）

4. 难度：中等

函数y=2^-x（x∈R）的反函数的大致图象为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

已知α、β为锐角，且cosα=，cos（α+β）=-，则β=（ ）
A．
B．
C．
D．以上答案都不对

6. 难度：中等

已知命题p：a＞0＞b，命题q：|a+b|＜|a|+|b|，则命题p是q的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

7. 难度：中等

设函数，若g（x）为奇函数，则的值是（ ）
A．4
B．-4
C．
D．

8. 难度：中等

已知S_n是公差不为0的等差数列{a_n}的前项和，且S₁，S₂，S₄成等比数列，则=（ ）
A．4
B．6
C．8
D．10

9. 难度：中等

如图，单位正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，下列说法错误的是（ ）

A．BD₁⊥B₁C
B．若，则PE∥A₁B
C．若点B₁、A、D、C在球心为O的球面上，则点A、C在该球面上的球面距离为
D．若，则A₁P、BE、AD三线共点

10. 难度：中等

在△ABC中，若sin²A+sin²B=5sin²C，则cosC的最小值等于（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

假设编拟某种信号程序时准备使用A，B，C，a，b，c（大小写有区别），把这六个字母全部排到如图所示的表格中，每个字母必须使用且只使用一次，不同的排列方式表示不同的信号，如果恰有一对字母（同一个字母的大小写）排到同一列的上下格位置，那么称此信号为“微错号”，则不同的“微错号”总个数为（ ）

A．432个
B．288个
C．96个
D．48个

12. 难度：中等

若存在实常数k和b，使得函数F（x）和G（x）对其公共定义域上的任意实数x都满足：F（x）≥kx+b和G（x）≤kx+b恒成立，则称此直线y=kx+b为F（x）和G（x）的“隔离直线”．已知函数h（x）=x²，m（x）=2elnx（e为自然对数的底数），φ（x）=x-2，d（x）=-1．
有下列命题：
①f（x）=h（x）-m（x）在递减；
②h（x）和d（x）存在唯一的“隔离直线”；
③h（x）和φ（x）存在“隔离直线”y=kx+b，且b的最大值为；
④函数h（x）和m（x）存在唯一的隔离直线．
其中真命题的个数（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

二、解答题

13. 难度：中等

的二项展开式中第二项的系数是    （用数字作答）．

14. 难度：中等

=    ．

15. 难度：中等

如图，∠BAD=90°的等腰直角三角形ABD与正三角形CBD所在平面互相垂直，E是BC的中点，则AE与平面BCD所成角的大小为    ．

16. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为（q≠0，q≠±1，bc≠0，b+c=0），现把数列{a_n}的各项排成如图所示的三角形形状．记A（m，n）为第m行从左起第n个数（m、n∈N^*）．有下列命题：
①{a_n}为等比数列且其公比q=±2；
②当n=2m（m＞3）时，A（m，n）不存在；
③；
④假设m为大于5的常数，且，…，其中为A（m，n）的最大值，从所有m₁，m₂，m₃，…，m_k中任取一个数，若取得的数恰好为奇数的概率为，则m必然为偶数．
其中你认为正确的所有命题的序号是    ．

17. 难度：中等

已知函数-2cosx．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若，求f（x）的单调区间及值域．

18. 难度：中等

梯形ACPD中，AD∥CP，PD⊥AD，CB⊥AD，，PC=AC=2，如图①；现将其沿BC折成如图②的几何体，使得．
（Ⅰ）求直线BP与平面PAC所成角的大小；
（Ⅱ）求二面角C-PA-B的余弦值．

19. 难度：中等

为了拓展网络市场，腾讯公司为QQ用户推出了多款QQ应用，如“QQ农场”、“QQ音乐”、“QQ读书”等．某校研究性学习小组准备举行一次“QQ使用情况”调查，从高二年级的一、二、三、四班中抽取10名学生代表参加，抽取不同班级的学生人数如下表所示：

班级	一班	二班	三班	四班
人数	2人	3人	4人	1人

（1）从这10名学生中随机选出2名，求这2人来自相同班级的概率；
（2）假设在某时段，三名学生代表甲、乙、丙准备分别从QQ农场、QQ音乐、QQ读书中任意选择一项，他们选择QQ农场的概率都为；选择QQ音乐的概率都为；选择QQ读书的概率都为；他们的选择相互独立．设在该时段这三名学生中选择QQ读书的总人数为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=x²-（m+1）x+4．
（Ⅰ）当x∈（0，1]时，若m＞0，求函数F（x）=f（x）-（m-1）x的最小值；
（Ⅱ）若函数G（x）=2^f（x）的图象与直线y=1恰有两个不同的交点A（x₁，1），B（x₂，1）（0≤x₁＜x₂≤3），求实数m的取值范围．

21. 难度：中等

等差数列{a_n}的各项均为正数，a₁=1，前n项和为S_n；{b_n}为等比数列，b₁=1，且b₂S₂=6，b₃S₃=24，n∈N^*．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）令，T_n=C₁+C₂+C₃+…+C_n；
①求T_n；
②当n≥3时，证明：4（n+2）T_n＞15（n+1）．

22. 难度：中等

设函数（x＞1）．
（I）求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）若m，t∈R⁺，且，求证：；
（Ⅲ）若，且，求证：．