2012年四川省高考数学压轴卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设全集为U，用集合A、B的交集、并集、补集分别表示右边韦恩图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分为：Ⅰ部分：A∩B，Ⅱ部分：A∩C_UB，Ⅲ部分：B∩C_U（A∩B），Ⅳ部分：（C_UA）∪（C_UB），其中表示错误的是（ ）

A．Ⅰ部分
B．Ⅱ部分
C．Ⅲ部分
D．Ⅳ部分

2. 难度：中等

函数的最小正周期为π，则该函数的图象（ ）
A．关于点对称
B．关于直线对称
C．关于点对称
D．关于直线对称

3. 难度：中等

α、β、γ、δ表示平面，l为直线，下列命题中为真命题的是（ ）
A．α⊥γ，β⊥γ⇒α∥β
B．α⊥β，β⊥γ⇒α⊥γ
C．α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l⇒l⊥γ
D．α∥γ，β∥δ，α⊥β⇒γ∥δ

4. 难度：中等

已知{a_n}为等比数列，a_n＞0，且a₁a₂₀₀₉=2²⁰¹⁰，则log₂a₁+log₂a₃+…+log₂a₂₀₀₉=（ ）
A．1004²
B．1005²
C．1006²
D．1004×1005

5. 难度：中等

设函数，若f（x）＜1，则x的取值范围是（ ）
A．（-∞，9）
B．（-∞，-1]∪[9，+∞）
C．[-1，0）
D．[-1，9）

6. 难度：中等

设抛物线y²=4x的准线与x轴交于F₁，焦点为F₂，以F₁，F₂为焦点，离心率为的椭圆的两条准线之间的距离为（ ）
A．4
B．6
C．8
D．10

7. 难度：中等

3个要好的同学同时考上了同一所高中，假设这所学校的高一年级共有10个班，那么至少有2人分在同一班级的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

设变量x，y满足约束条件，则目标函数u=x²+y²的最大值M与最小值N的比=（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

设a_n（n≥2，n∈N^*）是的展开式中x的一次项的系数，则=（ ）
A．16
B．17
C．18
D．19

10. 难度：中等

方程|x²-8elnx|=8（e为自然对数的底数）的实根个数为（ ）
A．2个
B．4个
C．6个
D．8个

11. 难度：中等

在正方体的8个顶点中任取2个顶点所得的所有直线中任取2条，则所取的2条成一对异面直线的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

已知函数f（x）=，若数列{a_n}满足a_n=f（n）（n∈N^﹡），且{a_n}是递增数列，则实数a的取值范围是（ ）
A．[，3）
B．（，3）
C．（2，3）
D．（1，3）

二、解答题

13. 难度：中等

的展开式中的常数项为    ．

14. 难度：中等

=    ．

15. 难度：中等

三个互不相等的实数a，b，c成等比数列，且满足a+b+c=2，则实数b的取值范围为    ．

16. 难度：中等

已知定义域为R的函数f（x）对任意实数x，y满足：f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y），且f（x）不是常函数，常数t＞0使f（t）=0，给出下列结论：①；②f（x）是奇函数；③f（x）是周期函数且一个周期为4t；④f（x）在（0，2t）内为单调函数．其中正确命题的序号是    ．

17. 难度：中等

已知等比数列{a_n}中，a₁=a，a₂=b，a₃=c，a，b，c分别为△ABC的三内角A，B，C的对边，且cosB=．
（1）求数列{a_n}的公比q；
（2）设集合A={x∈N|x²＜2|x|}，且a₁∈A，求数列{a_n}的通项公式．

18. 难度：中等

已知O为坐标原点，向量=（sinα，1），=（cosα，0），=（-sinα，2），点P是直线AB上的一点，且点B分有向线段的比为1．
（1）记函数f（α）=•，α∈（-，），讨论函数f（α）的单调性，并求其值域；
（2）若O，P，C三点共线，求|+|的值．

19. 难度：中等

若关于x的实系数方程x²+ax+b=0有两个根，一个根在区间（0，1）内，另一根在区间（1，3）内，记点（a，b）对应的区域为S．
（1）设z=2a-b，求z的取值范围；
（2）过点（-5，1）的一束光线，射到x轴被反射后经过区域S，求反射光线所在直线l经过区域S内的整点（即横纵坐标为整数的点）时直线l的方程．

20. 难度：中等

已知函数y=f（x）的反函数为y=f^-1（x），定义：若对给定的实数a（a≠0），函数y=f（x+a）与y=f^-1（x+a）互为反函数，则称y=f（x）满足“a和性质”．
（1）判断函数g（x）=（x+1）²+1，x∈[-2，-1]是否满足“1和性质”，并说明理由；
（2）若F（x）=kx+b，其中k≠0，x∈R满足“2和性质”，则是否存在实数a，使得F（9）＜F（cos²θ+asinθ）＜F（1）对任意的θ∈（0，π）恒成立？若存在，求出a的范围；若不存在，请说明理由．

21. 难度：中等

已知椭圆的左、右焦点分别为F₁，F₂，若以F₂为圆心，b-c为半径作圆F₂，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且|PT|的最小值不小于．
（1）求椭圆的离心率e的取值范围；
（2）设椭圆的短半轴长为1，圆F₂与x轴的右交点为Q，过点Q作斜率为k（k＞0）的直线l与椭圆相交于A，B两点，若OA⊥OB，求直线l被圆F₂截得的弦长的最大值．

22. 难度：中等

已知曲线C：y=4^x，C_n：y=4^x+n（n∈N^*），从C上的点Q_n（x_n，y_n）作x轴的垂线，交C_n于点P_n，再从点P_n作y轴的垂线，交C于点Q_n+1（x_n+1，y_n+1），设x₁=1，a_n=x_n+1-x_n，b_n=
（1）求数列{x_n}的通项公式；
（2）记c_n=，数列{c_n}的前n项和为S_n，试比较S_n与的大小（n∈N^*）；
（3）记d_n=，数列{d_n}的前n项和为T_n，试证明：（2n-1）•d_n≤T_2n-1≤×[1-]．