2012年北京市西城区高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={x|log₂x＜1}，B={x|0＜x＜c，其中c＞0}．若A∪B=B，则c的取值范围是（ ）
A．（0，1]
B．[1，+∞）
C．（0，2]
D．[2，+∞）

2. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数：
①f（x）=e^x；         ②f（x）=-e^x；      ③f（x）=x+x^-1；     ④f（x）=x-x^-1．
则输出函数的序号为（ ）

A．①
B．②
C．③
D．④

3. 难度：中等

椭圆 （φ是参数）的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

已知向量=（x，1），=（-x，4），其中x∈R．则“x=2”是“⊥”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件

5. 难度：中等

如图是1，2两组各7名同学体重（单位：kg）数据的茎叶图．设1，2两组数据的平均数依次为和，标准差依次为s₁和s₂，那么（ ）（注：标准差，其中为x₁，x₂，…，x_n的平均数）

1组		2组
3  6  7  8          1       0  2	5 6 7	4  6  8 0  1 2  3

A．，s₁＞s₂
B．，s₁＜s₂
C．，s₁＜s₂
D．，s₁＞s₂

6. 难度：中等

已知函数f（x）=kx+1，其中实数k随机选自区间[-2，1]．对∀x∈[0，1]，f（x）≥0的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

某大楼共有12层，有11人在第1层上了电梯，他们分别要去第2至第12层，每层1人．因特殊原因，电梯只允许停1次，只可使1人如愿到达，其余10人都要步行到达所去的楼层．假设这10位乘客的初始“不满意度”均为0，乘客每向下步行1层的“不满意度”增量为1，每向上步行1层的“不满意度”增量为2，10人的“不满意度”之和记为S，则S的最小值是（ ）
A．42
B．41
C．40
D．39

8. 难度：中等

对数列{a_n}，如果∃k∈N^*及λ₁，λ₂，…，λ_k∈R，使a_n+k=λ₁a_n+k-1+λ₂a_n+k-2+…+λ_ka_n成立，其中n∈N^*，则称{a_n}为k阶递归数列．给出下列三个结论：
①若{a_n}是等比数列，则{a_n}为1阶递归数列；
②若{a_n}是等差数列，则{a_n}为2阶递归数列；
③若数列{a_n}的通项公式为，则{a_n}为3阶递归数列．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

二、解答题

9. 难度：中等

在△ABC中，，，，则B=    ．

10. 难度：中等

已知复数z满足（1-i）•z=1，则z=    ．

11. 难度：中等

如图，△ABC是⊙O的内接三角形，PA是⊙O的切线，PB交AC于点E，交⊙O于点D．若PA=PE，∠ABC=60°，PD=1，PB=9，则PA=    ；EC=    ．

12. 难度：中等

已知函数f（x）=x²+bx+1是R上的偶函数，则实数b=    ；不等式f（x-1）＜|x|的解集为    ．

13. 难度：中等

一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，该几何体的体积是    ；若该几何体的所有顶点在同一球面上，则球的表面积是    ．

14. 难度：中等

曲线C是平面内到定点F（0，1）和定直线l：y=-1的距离之和等于4的点的轨迹，给出下列三个结论：
①曲线C关于y轴对称；
②若点P（x，y）在曲线C上，则|y|≤2；
③若点P在曲线C上，则1≤|PF|≤4．
其中，所有正确结论的序号是    ．

15. 难度：中等

已知函数．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若对于任意的，都有f（x）≤c，求实数c的取值范围．

16. 难度：中等

如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直．AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD=2BC，EA⊥EB．
（Ⅰ）求证：AB⊥DE；
（Ⅱ）求直线EC与平面ABE所成角的正弦值；
（Ⅲ）线段EA上是否存在点F，使EC∥平面FBD？若存在，求出；若不存在，说明理由．

17. 难度：中等

甲、乙两人参加某种选拔测试．在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙能答对其中的5道题．规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）减5分，至少得15分才能入选．
（Ⅰ）求乙得分的分布列和数学期望；
（Ⅱ）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率．

18. 难度：中等

已知抛物线y²=4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．
（Ⅰ）若，求直线AB的斜率；
（Ⅱ）设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值．

19. 难度：中等

已知函数，其中a∈R．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在原点处的切线方程；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若f（x）在[0，+∞）上存在最大值和最小值，求a的取值范围．

20. 难度：中等

若或1，i=1，2，…，n），则称A_n为0和1的一个n位排列．对于A_n，将排列记为R¹（A_n）；将排列记为R²（A_n）；依此类推，直至Rⁿ（A_n）=A_n．对于排列A_n和Rⁱ（A_n）（i=1，2，…，n-1），它们对应位置数字相同的个数减去对应位置数字不同的个数，叫做A_n和Rⁱ（A_n）的相关值，记作．例如，则，．若，则称A_n为最佳排列．
（Ⅰ）写出所有的最佳排列A₃；
（Ⅱ）证明：不存在最佳排列A₅；
（Ⅲ）若某个A_2k+1（k是正整数）为最佳排列，求排列A_2k+1中1的个数．