2012年浙江省宁波市海曙区效实中学高考数学模拟试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={1，2，3，4，5}，B={2，4，6}，C=A∩B，则C的真子集共有（ ）
A．2个
B．3个
C．4个
D．6个

2. 难度：中等

已知x，y∈R，i为虚数单位，且y+（2-x）i=1-i，则x+y的值为（ ）
A．2
B．4
C．-2
D．0

3. 难度：中等

右边是一个程序框图，则该程序输出的结果是（ ）

A．3
B．9
C．27
D．81

4. 难度：中等

已知f（x）=x³+bx²+cx+d（b，c，d∈R）
命题p：y=f（x）是R上的单调函数；
命题q：y=f（x）的图象与x轴恰有一个交点；
则p是q的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

5. 难度：中等

函数的部分图象如图所示，则将y=f（x）的图象向左平移个单位后，得到g（x）的图象解析式为（ ）

A．g（x）=sin2
B．g（x）=cos2
C．
D．

6. 难度：中等

已知函数f（x）=x+2^x，g（x）=x+lnx，的零点分别为x₁，x₂，x₃，则x₁，x₂，x₃的大小关系是（ ）
A．x₁＜x₂＜x₃
B．x₂＜x₁＜x₃
C．x₁＜x₃＜x₂
D．x₃＜x₂＜x₁

7. 难度：中等

两个非零向量，直线PQ过△OAB的重心，则m，n满足（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

如图为一个几何体的侧视图和俯视图，若该几何体的体积为，则它的正视图为（ ）

A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

设F₁、F₂是双曲线的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使（O 为坐标原点），且，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

已知函数，若实数x，y满足f（x）≤y≤x+2，则2x+y的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、解答题

11. 难度：中等

等差数列{a_n}的前15项和S₁₅=30，则a₈=    ．

12. 难度：中等

已知=    ．

13. 难度：中等

若的最小值为    ．

14. 难度：中等

将两枚骰子同时抛出，得到的两个点中，一个能被另一个整除的概率为    ．

15. 难度：中等

设圆C：（x-3）²+（y-5）²=5，过圆心C作直线l交圆于A，B两点，与y轴交于点P，若A恰好为线段BP的中点，则直线l的方程为    ．

16. 难度：中等

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M为CC₁的中点，P为平面ABCD内的动点，且A₁P和MP与平面ABCD所成的角相等，则P的轨迹为    ．

17. 难度：中等

已知函数y=f（x）和y=g（x）的定义域及值域均为[-a，a]（常数a＞0），其图象如图所示，则方程f[g（x）]=0根的个数为    ．

18. 难度：中等

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b=1，且．
（I）求角B的值；
（II）求的取值范围．

19. 难度：中等

已知数列．
（I）求证：数列是等比数列；
（II）若，且数列{b_n}是单调递增数列，求实数λ的取值范围．

20. 难度：中等

已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面为正三角形，侧面A₁ACC₁为菱形，∠A₁AC=60°，且平面A₁ACC₁⊥平面ABC，M是C₁C的中点．
（1）求证：A₁C⊥BM；
（2）求二面角B-A₁A-C的正切值．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=ax²-2x+lnx．
（Ⅰ）若f（x）无极值点，但其导函数f'（x）有零点，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）有两个极值点，求a的取值范围，并证明f（x）的极小值小于．

22. 难度：中等

已知点A（m，4）（m＞0）在抛物线x²=4y上，过点A作倾斜角互补的两条直线l₁和l₂，且l₁，l₂与抛物线另一个交点分别为B、C．
（I）求证：直线BC的斜率为定值；
（II）若抛物线上存在两点关于直线BC对称，求|BC|的取值范围．