2012年广东省梅州市高考数学二模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设a，b∈R，若复数z=，则z在复平面上对应的点在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

2. 难度：中等

已知集合，则集合{x|x≥1}为（ ）
A．M∩N
B．M∪N
C．C_R（M∩N）
D．C_R（M∪N）

3. 难度：中等

设b，c表示两条直线，α，β表示两个平面，则下列为真命题的是（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

设ω＞0，函数y=sin（ωx+）+2的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．3

5. 难度：中等

平面向量，共线的充要条件是（ ）
A．，方向相同
B．，两向量中至少有一个为零向量
C．∃λ∈R，
D．存在不全为零的实数λ₁，λ₂，

6. 难度：中等

以双曲线y²=1的左焦点为焦点，顶点在原点的抛物线方程是（ ）
A．y²=4
B．y²=-4
C．
D．y²=-8

7. 难度：中等

函数y=的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

在区间[-，]上随机取一个数x，cos x的值介于0到之之间的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知函数f（x）是（-∞，+∞）上的偶函数，若对于x≥0，都有f（x+2）=f（x），且当x∈[0，2）时，f（x）=log₂（x+1），则f（-2008）+f（2009）的值为（ ）
A．-2
B．-1
C．1
D．2

10. 难度：中等

设G是一个至少含有两个数的数集，若对任意a，b∈G，都有a+b，a-b，ab，（除数b≠0），则称G是一个数域，例如有理数集Q是数域．有下列命题：①数域必含有0，1两个数；②整数集是数域；③若有理数集Q⊆M，则数集M必为数域；④数域必为无限集．其中正确命题的个数是（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

二、解答题

11. 难度：中等

若x＞0，则x+的最小值为    ．

12. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，若输入x=10，则输出y的值为    ．

13. 难度：中等

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n．若S₉=72，则a₂+a₄+a₉=    ．

14. 难度：中等

（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线ρcos（θ-）=2与圆ρ=4的交点个数为    ．

15. 难度：中等

（几何证明选讲选做题）如图所示，过⊙O外一点P作一条直线与⊙O交于A，B两点，己知弦AB=6，点P到⊙O的切线长PT=4，则PA=    ．

16. 难度：中等

己知点A（1，0），B（0，1），C（2sinθ，cosθ）．
（1）若=1，其中O为坐标原点，求sin2θ的值；
（2）若，且θ在第三象限．求sin（θ+）值．

17. 难度：中等

一个社会调查机构就某社区居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）．
（1）为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，求月收入在[1500，2000）（元）段应抽出的人数；
（2）估计该社区居民月收人的平均数；
（3）为了估计该社区3个居民中恰有2个月收入在[2000，3000）（元）的概率，采用随机模拟的方法：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，我们用0，1，2，3，…表示收入在[2000，3000）（元）的居民，剩余的数字表示月收入不在[2000，3000）（元）的居民；再以每三个随机数为一组，代表统计的结果，经随机模拟产生了20组随机数如下：
907  966  191  925  271  932  812  458
569  683  431  257  393  027  556  488
730  113  537  989
据此估计，计算该社区3个居民中恰好有2个月收入在[2000，3000）（元）的概率．

18. 难度：中等

已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的三视图如图所示
（1）求此三棱柱的体积和表面积；
（2）画出此三棱柱，并证明：AC₁⊥AB₁．

19. 难度：中等

己知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，不等式所表示的平面区域的面积为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C的左项点为A，上顶点为B，圆M过A、B两点．当圆心M与原点O的距离最小时，求圆M的方程．

20. 难度：中等

定义在R上的函数f（x）满足：f（x+y）=f（x）f（y），且当x＞0时，f（x）＞1．
（1）求f（0）的值，并证明f（x）是定义域上的增函数：
（2）数列{a_n}满足a₁=a≠0，f（a_n+1）=f（aa_n）f（a-1）（n=1，2，3，…），求数列{a_n}的通项公式及前n项和S_n．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=lnx-ax．
（1）当a=1时，求f（x）的最大值；
（2）试讨论函数y=f（x）的零点情况；
（3）设a_k，b_k，…（k=1，2，…，n）均为正数，若a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n≤b₁+b₂+…+b_n，求证：…≤1．