2012年内蒙古包头一中高考数学三模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设P={m|-1＜m＜0}，Q={m∈R|mx²+4mx-4＜0对任意实数x恒成立}，则下列关系中成立的是（ ）
A．P⊂Q
B．Q⊈P
C．P=Q
D．P∩Q=Q

2. 难度：中等

设z的共轭复数是，若，，则等于（ ）
A．i
B．-i
C．±1
D．±i

3. 难度：中等

设函数f（x）=|x+1|+|x-a|的图象关于直线x=1对称，则a的值为（ ）
A．3
B．2
C．1
D．-1

4. 难度：中等

已知，则的值是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

右边程序运行结果为（ ）

A．5
B．4
C．7
D．6

6. 难度：中等

若函数y=f（x-1）的图象与函数的图象关于直线y=x对称，则f（x）=（ ）
A．e^2x-1
B．e^2x
C．e^2x+1
D．e^2x+2

7. 难度：中等

的展开式中x的系数是（ ）
A．-4
B．-3
C．3
D．4

8. 难度：中等

若直线通过点M（cosα，sinα），则（ ）
A．a²+b²≤1
B．a²+b²≥1
C．
D．

9. 难度：中等

为得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（ ）
A．向左平移个长度单位
B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位
D．向右平移个长度单位

10. 难度：中等

设曲线在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（ ）
A．2
B．
C．
D．-2

11. 难度：中等

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱与底面边长都相等，A₁在底面ABC内的射影为△ABC的中心，则AB₁与底面ABC所成角的正弦值等于（ ）

A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

设F₁、F₂分别为双曲线的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF₂|=|F₁F₂|，且F₂到直线PF₁的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A．3x±4y=0
B．3x±5y=0
C．4x±3y=0
D．5x±4y=0

二、解答题

13. 难度：中等

在△ABC中，，则cosA=    ．

14. 难度：中等

已知，则的取值范围为    ．

15. 难度：中等

一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积（单位：cm³）为    cm³．

16. 难度：中等

过抛物线x²=2py（p＞0）的焦点F作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A、B两点（点A在y轴左侧），则=    ．

17. 难度：中等

在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n+2ⁿ．
（Ⅰ）设b_n=．证明：数列{b_n}是等差数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的前n项和S_n．

18. 难度：中等

甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0、6，乙获胜的概率为0、4，各局比赛结果相互独立，已知前2局中，甲、乙各胜1局．
（I）求甲获得这次比赛胜利的概率；
（Ⅱ）设ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求ξ得分布列及数学期望．

19. 难度：中等

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，D、E分别为AA₁、B₁C的中点，DE⊥平面BCC₁．
（I）证明：AB=AC；
（II）设二面角A-BD-C为60°，求B₁C与平面BCD所成的角的大小．

20. 难度：中等

设f（x）=x³+3ax²+（3-6a）x+12a-4（a∈R），若f（x）在x=x处取得极小值，x∈（1，3），求a的取值范围．

21. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，点P到点F（3，0）的距离的4倍与它到直线x=2的距离的3倍之和记为d，当P点运动时，d恒等于点P的横坐标与18之和
（Ⅰ）求点P的轨迹C；
（Ⅱ）设过点F的直线I与轨迹C相交于M，N两点，求线段MN长度的最大值．

22. 难度：中等

AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，过点D作⊙O的切线交AB延长线于C，若DA=DC，求证：AB=2BC．

23. 难度：中等

在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x-y+4=0，曲线C的参数方程为．
（1）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为，判断点P与直线l的位置关系；
（2）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．

24. 难度：中等

（选做题）已知函数f（x）=|x-a|．
（Ⅰ）若不等式f（x）≥3的解集为{x|x≤1或x≥5}，求实数a的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若f（x）+f（x+4）≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．