2011-2012学年湖南省衡阳市高三（下）第一次联考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数-i+-2i³=（ ）
A．-4i
B．0
C．-2i
D．2i

2. 难度：中等

已知集合A={x|y=log₂（x-1），x∈R}，B={m}，若B⊆A，则实数m的取值范围是（ ）
A．m≥1
B．m≤1
C．m＞1
D．m＜1

3. 难度：中等

函数f（x）=3^x+4x的零点所在的区间是（ ）
A．（-2，-1）
B．（-1，0）
C．（O，1）
D．（1，2）

4. 难度：中等

已知随机变量ξ～N（0，a²），且p（ξ＞1）=p（ξ＜a-3）的值为（ ）
A．2
B．-2
C．0
D．1

5. 难度：中等

已知直线l₁的方向向量=（m，n），直线l₂的方程是：Ax+By+C=0，则直线l₁⊥l₂的一个充要条件是（ ）
A．=1
B．=-1
C．nA+mB=0
D．nA-mB=0

6. 难度：中等

如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积为（ ）
A．32π
B．16π
C．12π
D．8π

7. 难度：中等

函数f（x）=（ω＞0），|φ|＜）的部分图象如图所示，则f（π）=（ ）

A．4
B．2
C．2
D．

8. 难度：中等

如图，阅读程序框图，任意输入一次x（0≤x≤1）与y（0≤y≤1），则能输出数对（x，y）的概率为（ ）

A．
B．
C．
D．

二、解答题

9. 难度：中等

用0.618法选取试点过程中，如果实验区间为[1000，2000]，x₁为第一个试点，且x₁处的结果比x₂处好，则第三个试点x₃=    ．

10. 难度：中等

如图所示，已知圆O直径AB=，C为圆O上一点，且BC=，过点B的切线交AC延长线于点D，则DA=    ．

11. 难度：中等

已知命题“∃x∈R，|x-a|+|x+1|≤2”是假命题，则实数a的取值范围是    ．

12. 难度：中等

x（x-）⁷的展开式中，x⁴的系数是    ．

13. 难度：中等

已知直线l过拋物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点且|AB|=12，P为C的准线上的一点，则△ABP的面积为    ．

14. 难度：中等

已知正数x、y满足，则z=4^-x的最小值为    ．

15. 难度：中等

曲线C：y=x²+lnx+上斜率最小的一条切线截圆x²+y²=1的弦长是    ．

16. 难度：中等

我们规定满足“f（-x）=-f（x）”的分段函数叫“对偶函数”．已知函数f（x）=是对偶函数．
（1）g（x）=    ；
（2）若f[-]＞0对任意的n∈N^*都成立，则最大正整数m是    ．

17. 难度：中等

已知△ABC的面积为2，角A，B，C的对边分别为a，b，c，•=4．
（1）求角A；
（2）求的最大值．

18. 难度：中等

针对频繁发生的校车事故，2011年12月27日，工信部发布公告，公开征求对新制订的有关校车安全的几个条例的意见，我市为了了解实际情况，随机抽取了 100辆校车进行检测，将这些校车检測的某项指标参数绘制成如图所示的频率分布直方图．
（1）由图中数据，求a的值；
（2）若要从指标参数在[85，90）、[90，95）、[95，100]的三组校车中，用分层抽样方法抽取8辆，作另一项指标脚定，求各组分别抽取的车辆数；
（3）某学校根据自己的实际情况，从（2）中抽取的8辆校车中再随机选4辆来考察校车的价格，设指标参数在[90，95）内的校车被选取的辆数为ξ，求ξ的分布列以及ξ的数学期望．

19. 难度：中等

在长方形AA₁B₁B中，C，C₁分别是AB，A₁B₁的中点，且AB=2AA₁=4（如左图）将此长方形沿CC₁对折（如图），使平面AA₁C₁C⊥平面BB₁C₁C．

（1）求证：∠ACB=90°；
（2）当点E在棱CC₁上的什么位置时，平面BA₁E与平面AA₁C₁C所成的锐二面角为60°？

20. 难度：中等

某广场二雕塑造型结构如图所示，最上层是呈水平状态的圆环且圆心为O，其半径为2m，通过金厲杆BC，CA₁，CA₂，…，CA_n支撑在地面B处（BC垂直于水平面）．A₁，A₂，A₃，…，A_n是圆环上的n等分点，圆环所在的水平面距地面1Om，设金属杆CA₁，CA₂，…，CA_n所在直线与圆环所在水平面所成的角都为θ（圓环及金厲杆均不计粗细）
（1）当θ为60°且n=3时，求金厲杆BC，CA₁，CA₂，CA₃的总长？
（2）当θ变化，n一定时，为美观与安全起见，要求金属杆BC，CA₁，CA₂，…，CA_n的总长最短，此时θ的正弦值是多少？并由此说明n越大，C点的位置将会上移还是下移．

21. 难度：中等

已知椭圆C的方程为+=1（a＞b＞0），离心率e=，上焦点到直线y=的距离为，直线l与y轴交于一点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A，B且=t．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若+t=4，求m的取值范围•

22. 难度：中等

已知无穷数列{a_n}中，a₁，a₂，…，a_n是首项为10，公差为-2的等差数列；a_n+1，a_n+2，…，a_2n是首项为，公比为的等比数列（m≥3，m∈N^*），并对任意n∈N^*，均有a_n+2n=a_n成立．
（1）当m=12时，求a₂₀₁₂；
（2）若a₅₂=，试求m的值；
（3）判断是否存在m，使S_128m+3≥2012成立，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．