2012年北京市丰台区高考数学二模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数的虚部是（ ）
A．-1
B．
C．-i
D．

2. 难度：中等

设，是向量，命题“若，则”的否命题是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则

3. 难度：中等

设等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₂=2，，则S₄的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N，P，Q分别是AA₁，A₁D₁，CC₁，BC的中点，给出以下四个结论：①A₁C⊥MN；②A₁C∥平面MNPQ；③A₁C与PM相交；④NC与PM异面．其中不正确的结论是（ ）

A．①
B．②
C．③
D．④

5. 难度：中等

函数f（x）=x+sinx（x∈R）（ ）
A．是偶函数，且在（-∞，+∞）上是减函数
B．是偶函数，且在（-∞，+∞）上是增函数
C．是奇函数，且在（-∞，+∞）上是减函数
D．是奇函数，且在（-∞，+∞）上是增函数

6. 难度：中等

在△ABC中，∠BAC=90°，D是BC中点，AB=4，AC=3，则=（ ）
A．-7
B．
C．
D．7

7. 难度：中等

已知函数y=sinax+b（a＞0）的图象如图所示，则函数y=log_a（x+b）的图象可能是（ ）

A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知平面上四个点A₁（0，0），，，A₄（4，0）．设D是四边形A₁A₂A₃A₄及其内部的点构成的点的集合，点P是四边形对角线的交点，若集合S={P∈D||PP|≤|PA_i|，i=1，2，3，4}，则集合S所表示的平面区域的面积为（ ）
A．2
B．4
C．8
D．16

二、解答题

9. 难度：中等

已知集合A={x|2x-x²＞0}，B={x|x＞1}，则A∩B=    ．

10. 难度：中等

某地区恩格尔系数y（%）与年份x的统计数据如下表：

年份x	2004	2005	2006	2007
恩格尔系数y（%）	47	45.5	43.5	41

从散点图可以看出y与x线性相关，且可得回归方程为，则=    ，据此模型可预测2012年该地区的恩格尔系数（%）为    ．

11. 难度：中等

已知cosθ=2sinθ，则cos2θ的值为    ．

12. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，则输出的结果是    ．

13. 难度：中等

已知双曲线上一点M到两个焦点的距离分别为20和4，则该双曲线的离心率为    ．

14. 难度：中等

在平面直角坐标系中，若点A，B同时满足：①点A，B都在函数y=f（x）图象上；②点A，B关于原点对称，则称点对（A，B）是函数y=f（x）的一个“姐妹点对”（规定点对（A，B）与点对（B，A）是同一个“姐妹点对”）．那么函数的“姐妹点对”的个数为    ．

15. 难度：中等

已知函数．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求函数y=f（x）在区间上的最小值，并求使y=f（x）取得最小值时的x的值．

16. 难度：中等

某地区农科所为了选择更适应本地区种植的棉花品种，在该地区选择了5块土地，每块土地平均分成面积相等的两部分，分别种植甲、乙两个品种的棉花，收获时测得棉花的亩产量如图所示：
（Ⅰ）请问甲、乙两种棉花哪种亩产量更稳定，并说明理由；
（Ⅱ）求从种植甲种棉花的5块土地中任选2块土地，这两块土地的亩产量均超过种植甲种棉花的5块土地的总平均亩产量的概率．

17. 难度：中等

如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，Q是棱PA上的动点．
（Ⅰ）若Q是PA的中点，求证：PC∥平面BDQ；
（Ⅱ）若PB=PD，求证：BD⊥CQ；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若PA=PC，PB=3，∠ABC=60°，求四棱锥P-ABCD的体积．

18. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的公差d≠0，该数列的前n项和为S_n，且满足．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b₁=a₁，，求数列{b_n}的通项公式．

19. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心在原点，焦点F₁，F₂在x轴上，焦距为，P是椭圆上一动点，△PF₁F₂的面积最大值为2．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过点M（1，0）的直线l交椭圆C于A，B两点，交y轴于点N，若，，求证：λ₁+λ₂为定值．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=lnx，，两函数图象的交点在x轴上，且在该点处切线相同．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求证：当x＞1时，f（x）＜g（x）成立；
（Ⅲ）证明：（n∈N^*）．