2012年北京市通州区高考数学一模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数z=等于（ ）
A．i
B．2i
C．1+i
D．1-i

2. 难度：中等

已知命题p是真命题，命题q是假命题，那么下列命题中是假命题的是（ ）
A．￢q
B．p∨q
C．p∧q
D．p∧（￢q）

3. 难度：中等

如图，程序框图所进行的求和运算是（ ）
A．1+2+2²+2³+2⁴+2⁵
B．2+2²+2³+2⁴+2⁵
C．1+2+2²+2³+2⁴
D．2+2²+2³+2⁴

4. 难度：中等

已知在△ABC中，D是BC的中点，那么下列各式中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图为等腰直角三角形，侧视图与俯视图均为正方形，那么该几何体的表面积是（ ）

A．16
B．
C．20
D．16

6. 难度：中等

下列函数中，函数图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上单调递增的是（ ）
A．y=2^x
B．y=x²-1
C．y=
D．y=

7. 难度：中等

某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌车，在A地的销售利润（单位：万元）是y₁=4.1x-0.1x²，在B地的销售利润（单位：万元）是y₂=2x，其中x为销售量（单位：辆）．若该公司在这两地共销售16辆这种品牌车，则能获得的最大利润是（ ）
A．10.5万元
B．11万元
C．43万元
D．43.025万元

8. 难度：中等

定义集合{x|a≤x≤b}的“长度”是b-a．已知m，n∈R，集合M={x|m}，N={x|n-}，且集合M，N都是集合{x|1≤x≤2}的子集，那么集合M∩N的“长度”的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、解答题

9. 难度：中等

已知等差数列{a_n}中，a₂=-2，公差d=-2，那么数列{a_n}的前5项和S₅=    ．

10. 难度：中等

若在区间[0，8]上随机取一实数，则该实数在区间[3，6]上的概率是    ．

11. 难度：中等

已知x，y满足不等式组，那么z=x+2y的最大值是    ．

12. 难度：中等

已知在△ABC中，A=，sinC=，BC=3，那么AB=    ；AC=    ．

13. 难度：中等

已知直线x-y+c=0与圆（x-1）²+y²=2有且只有一个公共点，那么c=    ．

14. 难度：中等

在直角坐标系中，点O为坐标原点，已知=（-，0），=（2i-1，0）（i=1，2，…，n…），△A_iB_iA_i+1（i=1，2，…，n…）是等边三角形，且点B₁，B₂，…，B_n，…在同一条抛物线C上，那么抛物线C的方程是    ；点B₆的横坐标是    ．

15. 难度：中等

已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos²x-1．
（I）求函数f（x）的最小正周期；
（II）求函数f（x）在区间[-，0]上的最大值和最小值．

16. 难度：中等

有甲、乙两个学习小组，每个小组各有四名学生，在一次数学考试中，成绩情况如下表：

学生	一	二	三	四
成绩	78	92	98	88
学生	一	二	三	四
成绩	86	95	82	96

（I）用茎叶图表示两组的成绩情况；
（II）分别从甲、乙两组中随机选取一名学生的成绩，求选取的这两名学生中，至少有一名学生的成绩在90以上的概率．

17. 难度：中等

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面为正三角形，AA₁⊥平面ABC，且AA₁=AB=3，D 是BC的中点．
（I）求证：A₁B∥平面ADC₁；
（II）求证：平面ADC₁⊥平面DCC₁；
（III）在侧棱CC₁上是否存在一点E，使得三棱锥C-ADE的体积是，若存在，求CE长；若不存在，说明理由．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=lnx-x²．
（I）求函数f（x）的单调递增区间；
（II）求函数f（x）在（0，a]（a＞0）上的最大值．

19. 难度：中等

已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，且短轴的一个端点到左焦点F的距离是，经过点F且不垂直于x轴的直线l交椭圆C于A，B两点．点O为坐标原点．
（I）求椭圆C的标准方程；
（II）在线段OF上存在点M（m，0）（点M不与点O，F重合），使得以MA，MB为邻边的平行四边形MANB是菱形，求m的取值范围．

20. 难度：中等

对于数列{a_n}，从第二项起，每一项与它前一项的差依次组成等比数列，称该等比数列为数列{a_n}的“差等比数列”，记为数列{b_n}．设数列{b_n}的首项b₁=2，公比为q（q为常数）．
（I）若q=2，写出一个数列{a_n}的前4项；
（II）a₁与q满足什么条件，数列{a_n}是等比数列，并证明你的结论；
（III）若a₁=1，数列{a_n+c_n}是公差为q的等差数列，且c₁=q，求数列{c_n}的通项公式；并证明当1＜q＜2时，c₅＜-2q²．