2012年上海市高考数学压轴试卷（文科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

已知z∈C，且为z的共轭复数，若（i是虚数单位），则z=    ．

2. 难度：中等

在△ABC中，已知2sin²A-3cosA=0，则角A的大小为    ．

3. 难度：中等

已知两条直线l₁：ax-2y-3=0，l₂：4x+6y-1=0．若l₁的一个法向量恰为l₂的一个方向向量，则a=    ．

4. 难度：中等

已知集合，函数y=lg（-x²+6x-8）的定义域为集合B，则A∩B=    ．

5. 难度：中等

某区有200名学生参加数学竞赛，随机抽取10名学生成绩如表：则总体标准差的估计值是    （精确到0.01）．

成绩	40	50	60	70	80	90
人数	1	1	2	2	1	3

6. 难度：中等

若函数y=g（x）图象与函数y=（x-1）²（x≤1）的图象关于直线y=x对称，则g（4）=    ．

7. 难度：中等

若，其中a，b都是实数，i是虚数单位，则|a+bi|=    ．

8. 难度：中等

的二项展开式中，常数项的值是    ．

9. 难度：中等

已知数列{a_n}（n∈N^*）是公差为2的等差数列，则=    ．

10. 难度：中等

如图：已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱与底面边长都相等，过顶点A₁作底面ABC的垂线，若垂足为BC的中点，则异面直线AB与CC₁成的角的余弦值为    ．

11. 难度：中等

5名学生报名参加两项社会实践活动，每个学生都要报名且只报一项，那么每项活动都至少有两名学生报名的概率为    ．（结果用最简分数表示）

12. 难度：中等

已知点A（0，2）抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，线段FA交抛物线与点B，过B做l的垂线，垂足为M，若AM⊥MF，则p=    ．

13. 难度：中等

已知O为坐标原点，点A（1，-1），若点M（x，y）为平面区域 内的一个动点，则的最大值与最小值之差为    ．

14. 难度：中等

若函数y=f（x）（x∈R）满足f（x-2）=f（x），且x∈[-1，1]时，f（x）=1-x²，函数，则函数h（x）=f（x）-g（x）在区间[-5，6]内的零点的个数为    ．

二、选择题

15. 难度：中等

已知空间三条直线a、b、m及平面α，且a、b⊂α．条件甲：m⊥a，m⊥b；条件乙：m⊥α，则“条件乙成立”是“条件甲成立”的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充分且必要条件
D．既非充分也非必要条件

16. 难度：中等

以抛物线y²=4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（ ）
A．x²+y²+2x=0
B．x²+y²+x=0
C．x²+y²-x=0
D．x²+y²-2x=0

17. 难度：中等

设A（a，1），B（2，b），C（4，5）为坐标平面上三点，O为坐标原点，若与在方向上的投影相同，则a与b满足的关系式为（ ）
A．4a-5b=3
B．5a-4b=3
C．4a+5b=14
D．5a+4b=14

18. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）

A．1
B．-1
C．-2
D．0

三、解答题

19. 难度：中等

在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，且．
（1）求sinA；
（2）求cos（B+C）+cos2A的值．

20. 难度：中等

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，过A₁、C₁、B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD-A₁C₁D₁，且这个几何体的体积为10．
（1）求棱A₁A的长；
（2）求此几何体的表面积，并画出此几何体的主视图和俯视图（写出各顶点字母）．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=3-2log₂x，g（x）=log₂x．
（1）当x∈[1，4]时，求函数h（x）=[f（x）+1]•g（x）的值域；
（2）如果对任意的x∈[1，4]，不等式恒成立，求实数k的取值范围．

22. 难度：中等

已知点F₁，F₂为双曲线的左、右焦点，过F₂作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线于点M，且，圆O的方程为x²+y²=b²．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若双曲线C上的点到两条渐近线的距离分别为d₁，d₂，求d₁•d₂的值；
（3）过圆O上任意一点P（x，y）作切线l交双曲线C于A，B两个不同点，求的值．

23. 难度：中等

如果存在常数a使得数列{a_n}满足：若x是数列{a_n}中的一项，则a-x也是数列{a_n}中的一项，称数列{a_n}为“兑换数列”，常数a是它的“兑换系数”．
（1）若数列：1，2，4，m（m＞4）是“兑换系数”为a的“兑换数列”，求m和a的值；
（2）若有穷递增数列{b_n}是“兑换系数”为a的“兑换数列”，求证：数列{b_n}的前n项和；
（3）已知有穷等差数列{c_n}的项数是n（n≥3），所有项之和是B，试判断数列{c_n}是否是“兑换数列”？如果是的，给予证明，并用n和B表示它的“兑换系数”；如果不是，说明理由．