2012年上海市黄浦区、嘉定区高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

函数f（x）=的定义域为    ．

2. 难度：中等

若双曲线的一个焦点为F（2，0），则实数m=    ．

3. 难度：中等

若π≤x≤，则方程2sinx+1=0的解x=    ．

4. 难度：中等

已知幂函数y=f（x）存在反函数，若其反函数的图象经过点，则幂函数f（x）=    ．

5. 难度：中等

一盒中有7件正品，3件次品，无放回地每次取一件产品，直至取到正品．已知抽取次数ξ 的概率分布律如下表：

x	1	2	3	4
P（ξ=x）

那么抽取次数ξ的数学期望Eξ=    ．

6. 难度：中等

一名工人维护甲、乙两台独立的机床，若在一小时内，甲、乙机床需要维护的概率分别为0.9、0.85，则两台机床都不需要维护的概率为    ．

7. 难度：中等

已知z∈C，且为z的共轭复数，若（i是虚数单位），则z=    ．

8. 难度：中等

已知α、β∈（0，），若cos（α+β）=，sin（α-β）=-，则cos2α=    ．

9. 难度：中等

如图，已知圆柱的轴截面ABB₁A₁是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C₁是圆柱上底面弧A₁B₁的中点，那么异面直线AC₁与BC所成角的正切值为    ．

10. 难度：中等

若过圆C：（0≤θ≤2π）上一点P（-1，0）作该圆的切线l，则切线l的方程为    ．

11. 难度：中等

设（1+2x）ⁿ展开式的各项系数的和为a_n，各二项式系数的和为b_n则lim=    ．

12. 难度：中等

设集合P={1，x}，Q={1，2，y}，其中x，y∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，且P⊆Q．若将满足上述条件的每一个有序整数对（x，y）看作一个点，则这样的点的个数为    ．

13. 难度：中等

已知函数f（x）=|x²-2ax+a|（x∈R），给出下列四个命题：
①当且仅当a=0时，f（x）是偶函数；
②函数f（x）一定存在零点；
③函数在区间（-∞，a]上单调递减；
④当0＜a＜1时，函数f（x）的最小值为a-a²．
那么所有真命题的序号是    ．

14. 难度：中等

已知△FAB，点F的坐标为（1，0），点A、B分别在图中抛物线y²=4x及圆（x-1）²+y²=4的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，那么△FAB的周长的取值范围为    ．

二、选择题

15. 难度：中等

已知空间三条直线a、b、m及平面α，且a、b⊂α．条件甲：m⊥a，m⊥b；条件乙：m⊥α，则“条件乙成立”是“条件甲成立”的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充分且必要条件
D．既非充分也非必要条件

16. 难度：中等

已知a、b＞0，则下列不等式中不一定成立的是（ ）
A．
B．（a+b）（）≥4
C．
D．a+b+

17. 难度：中等

已知△ABC的三边分别是a、b、c，且a≤b≤c（a、b、c∈N^*），当b=n（n∈N^*）时，记满足条件的所有三角形的个数为a_n，则数列{a_n}的通项公式a_n=（ ）
A．2n-1
B．
C．2n+1
D．n

18. 难度：中等

已知O、A、B、C是不共线的四点，若存在一组正实数λ₁﹑λ₂﹑λ₃，使λ₁+λ₂+λ₃=，则三个角∠AOB、∠BOC、∠COA（ ）
A．都是锐角
B．至多有两个钝角
C．恰有两个钝角
D．至少有两个钝角

三、解答题

19. 难度：中等

已知三棱锥P-ABC，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，AB=AC=4，AP=5．
（1）求二面角P-BC-A的大小（结果用反三角函数值表示）．
（2）把△PAB（及其内部）绕PA所在直线旋转一周形成一几何体，求该几何体的体积V．

20. 难度：中等

已知函数．
（1）求函数y=f（x）的单调递增区间；
（2）若，求f（x）的取值范围．

21. 难度：中等

某高科技企业研制出一种型号为A的精密数控车床，A型车床为企业创造的价值逐年减少（以投产一年的年初到下一年的年初为A型车床所创造价值的第一年）．若第1年A型车床创造的价值是250万元，且第1年至第6年，每年A型车床创造的价值减少30万元；从第7年开始，每年A型车床创造的价值是上一年价值的50%．现用表示A型车床在第n年创造的价值．
（1）求数列{a_n}（n∈N^*）的通项公式a_n；
（2）记S_n为数列{a_n}的前n项的和，．企业经过成本核算，若T_n＞100万元，则继续使用A型车床，否则更换A型车床．试问该企业须在第几年年初更换A型车床？（已知：若正数数列{b_n}是单调递减数列，则数列也是单调递减数列）．

22. 难度：中等

已知定点F（2，0），直线l：x=2，点P为坐标平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为点Q，且．设动点P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）过点F的直线l₁与曲线C有两个不同的交点A、B，求证：+=；
（3）记与的夹角为θ（O为坐标原点，A、B为（2）中的两点），求cosθ的取值范围．

23. 难度：中等

对n∈N^*，定义函数f_n（x）=-（x-n）²+n，n-1≤x≤n．
（1）求证：y=f_n（x）图象的右端点与y=f_n+1（x）图象的左端点重合；并回答这些端点在哪条直线上．
（2）若直线y=k_nx与函数f_n（x）=-（x-n）²+n，n-1≤x≤n（n≥2，n∈N^*）的图象有且仅有一个公共点，试将k_n表示成n的函数．
（3）对n∈N^*，n≥2，在区间[0，n]上定义函数y=f（x），使得当m-1≤x≤m（n∈N^*，且m=1，2，…，n）时，f（x）=f_m（x）．试研究关于x的方程f（x）=f_n（x）（0≤x≤n，n∈N^*）的实数解的个数（这里的k_n是（2）中的k_n），并证明你的结论．