2011-2012学年山东省聊城市高唐二中高三（下）4月月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知i为虚数单位，则=（ ）
A．-i
B．i
C．1-i
D．1

2. 难度：中等

沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的左视图为（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

已知合集U=R，集合A={y|y=sin（x+1），x∈R}和B={x|x²-x≤0}，则图中阴影部分表示的集合为（ ）

A．[-1，0]
B．[-1，1）
C．[-1，0）
D．（0，1）

4. 难度：中等

设则f（8）的值为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8

5. 难度：中等

函数的图象可由y=cos2x的图象经过怎样的变换得到（ ）
A．向左平移个单位
B．向右平移个单位
C．向左平移个单位
D．向右平移个单位

6. 难度：中等

定义在R上的偶函数f（x）满足：对∀x₁，x₂∈[0，+∞），且x₁≠x₂，都有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0，则（ ）
A．f（3）＜f（-2）＜f（1）
B．f（1）＜f（-2）＜f（3）
C．f（-2）＜f（1）＜f（3）
D．f（3）＜f（1）＜f（-2）

7. 难度：中等

通过随机询问100名性别不同的大学生是否爱好踢毪子运动，得到如下的列联表：

	男	女	总计
爱好	10	40	50
不爱好	20	30	50
总计	30	70	100

附表：

P（K2≥k）	0.10	0.05	0.025
k	2.706	3.841	5.024

随机变量，经计算，统计量K²的观测值k≈4.762，参照附表，得到的正确结论是（ ）
A．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
B．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
C．有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
D．有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”

8. 难度：中等

函数f（x）=lnx+x-2的零点个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

9. 难度：中等

将4名志愿者分配到3个不同的体育场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为（ ）
A．144
B．72
C．48
D．36

10. 难度：中等

2²⁰¹²个位上的数字为（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8

11. 难度：中等

如图，CDEF是以圆O为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在扇形OCFH内”（点H将劣弧二等分），B表示事件“豆子落在正方形CDEF内”，则P（B|A）（ ）

A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，设A，B，C是圆x²+y²=1上相异三点，若存在正实数λ，μ，使得，则（λ-3）²+μ²的取值范围是（ ）
A．（2，9）
B．（4，10）
C．（）
D．（2，+∞）

二、解答题

13. 难度：中等

若双曲线x²+ky²=1的离心率是2，则实数k的值是    ．

14. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，则输出的结果是    ．

15. 难度：中等

=    ．

16. 难度：中等

如图，平行四边形ABCD中，点E是边BC（靠近点B）的三等分点，F是AB（靠近点A）的三等分点，P是AE与DF的交点，则表示为    ．

17. 难度：中等

已知，且．
（1）求α的值；
（2）令，求f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）的值．

18. 难度：中等

甲、乙、丙三人分别独立地解一道题，甲做对的概率是，三人都做对的概率是，三人全做错的概率是，已知乙做对这道题的概率大于丙做对这道题的概率．
（1）分别求乙、丙两人各自做对这道题的概率；
（2）设三人中做对这道题的人数为X，求椭机变量X的分布列和期望．

19. 难度：中等

如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD=DE=2AB，F为CD的中点．
（1）求证：AF∥平面BCE；
（2）求直线BF和平面BCE所成角的正弦值．

20. 难度：中等

设数列{a_n}满足a₁=1，a₂=2，对任意的n∈N^*，a_n+2是a_n+1与a_n的等差中项．
（1）设b_n=a_n+1-a_n，证明数列{b_n}是等比数列，并求出其通项公式；
（2）写出数列{a_n}的通项公式（不要求计算过程），求数列{a_n}中的最大项．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=（x+1）[1+ln（x+1）]-kx，k∈R，e≈2.72．
（1）当k=1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）是否存在正整数k，使得f（x）＞0在（0，+∞）上恒成立？若存在，求出k的最大值；若不存在，说明理由．

22. 难度：中等

已知椭圆C₁：的离心率为，椭圆上一点到一个焦点的最大值为3，圆，点A是椭圆上的顶点，点P是椭圆C₁上不与椭圆顶点重合的任意一点．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）若直线AP与圆C₂相切，求点P的坐标；
（3）若点M是椭圆C₁上不与椭圆顶点重合且异于点P的任意一点，点M关于x轴的对称点是点N，直线MP，NP分别交x轴于点E（x₁，0），点F（x₂，0），探究x₁•x₂是否为定值．若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．