2012年湖南省益阳市桃江四中高考数学保温试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合P={3，log₂a}，Q={a，b}，若P∩Q={0}，则P∪Q=（ ）
A．{3，0}
B．{3，0，1}
C．{3，0，2}
D．{3，0，1，2}

2. 难度：中等

已知复数，则“”是“z是纯虚数”的（ ）
A．充要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，）的图象如图所示，为了得到y=cos2x的图象，则只要将f（x）的图象（ ）
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度

4. 难度：中等

已知抛物线y²=2px的焦点F与双曲线的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且，则△AFK的面积为（ ）
A．4
B．8
C．16
D．32

5. 难度：中等

已知平面上四个点A₁（0，0），，，A₄（4，0）．设D是四边形A₁A₂A₃A₄及其内部的点构成的点的集合，点P是四边形对角线的交点，若集合S={P∈D||PP|≤|PA_i|，i=1，2，3，4}，则集合S所表示的平面区域的面积为（ ）
A．2
B．4
C．8
D．16

二、解答题

6. 难度：中等

函数的定义域为    ．

7. 难度：中等

若展开式的常数项为60，则常数a的值为    ．

8. 难度：中等

函数y=x²（x＞0）的图象在点（a_k，a_k²）处的切线与x轴交点的横坐标为a_k+1，k为正整数，a₁=16，则a₁+a₃+a₅=   

9. 难度：中等

给定项数为m （m∈N*，m≥3）的数列{a_n}，其中a_i∈{0，1}（i=1，2，3，…，m），这样的数列叫”0-1数列”．若存在一个正整数k （2≤k≤m-1），使得数列{a_n}中某连续k项与该数列中另一个连续k项恰好按次序对应相等，则称数列{a_n}是“k阶可重复数列”．例如数列{a_n}：0，1，1，0，1，1，0，因为a₁，a₂，a₃，a₄与a₄，a₅，a₆，a₇按次序对应相等，所以数列{a_n}是“4阶可重复数列”．
（1）已知数列{b_n}：0，0，0，1，1，0，0，1，1，0，则该数列     “5阶可重复数列”（填“是”或“不是”）；
（2）要使项数为m的所有”0-1数列”都为“2阶可重复数列”，则m的最小值是     ．

10. 难度：中等

如图，一个圆锥和一个圆柱组成了一个几何体，其中圆锥和圆柱的底面半径相同，点O，O′，分别是圆柱的上下底面的圆心，AB，CD都为直径，点P，A，B，C，D五点共面，点N是弧AB上的任意一点（点N与A，B不重合），点M为BN的中点，N′是弧CD上一点，且NN'∥AD，PA=AB=BC=2．
（1）求证：BN⊥平面POM；
（2）求证：平面POM∥平面ANN′D；
（3）若点N为弧AB的三等分点且，求面ANP与面POM所成角的正弦值．

11. 难度：中等

已知函数f（x）=x²-（a+2）x+alnx．其中常数a＞0．
（1）当a＞2时，求函数f（x）的单调递增区间；
（2）当a=4时，给出两类直线：6x+y+m=0与3x-y+n=0，其中m，n为常数，判断这两类直线中是否存在y=f（x）的切线，若存在，求出相应的m或n的值，若不存在，说明理由．
（3）设定义在D上的函数y=h（x）在点P（x，h（x））处的切线方程为l：y=g（x），当x≠x时，若在D内恒成立，则称P为函数y=h（x）的“类对称点”，当a=4时，试问y=f（x）是否存在“类对称点”，若存在，请至少求出一个“类对称点”的横坐标，若不存在，说明理由．