2012年上海市杨浦区高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

若线性方程组的增广矩阵为，则其对应的线性方程组是    ．

2. 难度：中等

的展开式中x²的系数是    ．（用数字作答）

3. 难度：中等

若双曲线（a＞0）的一条渐近线方程为3x-2y=0，则a=    ．

4. 难度：中等

计算：（1+++…+）=    ．

5. 难度：中等

若直线l过点（-2，0），且与圆x²+y²=1相切，则直线l的斜率是    ．

6. 难度：中等

函数f（x）=（sinx-cosx）²的最小正周期为    ．

7. 难度：中等

一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为    ．

8. 难度：中等

若行列式=0，则x=    ．

9. 难度：中等

如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D．测得∠BCD=75°，∠BDC=60°，CD=30米，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB=    米．

10. 难度：中等

在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度vm/s和燃料的质量Mkg、火箭（除燃料外）的质量mkg的函数关系是．当燃料质量是火箭质量的    倍时，火箭的最大速度可达12km/s．

11. 难度：中等

圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是    cm．

12. 难度：中等

设幂函数f（x）=x³，数列{a_n}满足：a₁=2012，且a_n+1=f（a_n）（n∈N^*），则数列的通项a_n=    ．

13. 难度：中等

对任意一个非零复数z，定义集合A_z={ω|ω=zⁿ，n∈N^*}，设a是方程x²+1=0的一个根，若在A_a中任取两个不同的数，则其和为零的概率为P=    （结果用分数表示）．

14. 难度：中等

函数y=的图象与函数y=2sinπx（-2≤x≤4）的横坐标之和等于    ．

二、选择题

15. 难度：中等

下列函数中既是奇函数，又在区间（-1，1）上是增函数的为（ ）
A．y=|x|
B．y=sin
C．y=e^x+e^-x
D．y=-x³

16. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）

A．1
B．-1
C．-2
D．0

17. 难度：中等

“tanx=-”是“x=”的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分也非必要条件

18. 难度：中等

已知点A（-1，1），若曲线G上存在两点B，C，使△ABC为正三角形，则称G为T型曲线．给定下列三条曲线：
①y=-x+3（0≤x≤3）
②y=（-≤x≤0）
③y=-（x＞0），
则T型曲线的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

三、解答题

19. 难度：中等

已知关于x的不等式x²+mx-2＜0解集为（-1，2）．
（1）求实数m的值；
（2）若复数z₁=m+2i，z₂=cosα+isinα，z₁•z₂为纯虚数，求tan2α的值．

20. 难度：中等

如图所示，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，的棱AA₁长为a，底面ABCD是边长AB=2a，BC=a的矩形，E为C₁D₁的中点．
（1）求证：DE⊥平面EBC．
（2）求点C到平面EBD的距离．

21. 难度：中等

设a∈R，f（x）=为奇函数．
（1）求函数F（x）=f（x）+2x--1的零点；
（2）设g（x）=2log₂（），若不等式f^-1（x）≤g（x）在区间[，]上恒成立，求实数k的取值范围．

22. 难度：中等

已知数列A_n：a₁，a₂，…，a_n．如果数列B_n：b₁，b₂，…，b_n满足b₁=a_n，b_k=a_k-1+a_k-b_k-1，其中k=2，3，…，n，则称B_n为A_n的“生成数列”．
（1）若数列A₄：a₁，a₂，a₃，a₄的“生成数列”是B₄：5，-2，7，2，求A₄；
（2）若n为偶数，且A_n的“生成数列”是B_n，证明：B_n的“生成数列”是A_n；
（3）若n为奇数，且A_n的“生成数列”是B_n，B_n的“生成数列”是C_n，…．依次将数列A_n，B_n，C_n，…的第i（i=1，2，…，n）项取出，构成数列Ω_i：a_i，b_i，c_i，…证明：数列Ω_i是等差数列，并说明理由．

23. 难度：中等

如图，椭圆C₁：+y²=1，x轴被曲线C₂：y=x²-b截得的线段长等于C₁的长半轴长．
（1）求实数b的值；
（2）设C₂与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C₂相交于点A、B，直线MA、MB分别与C₁相交与D、E．
①证明：MD•ME=0；
②记△MAB，△MDE的面积分别是S₁，S₂．若=λ，求λ的取值范围．