2012年北京市通州区高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数z=等于（ ）
A．i
B．2i
C．1+i
D．1-i

2. 难度：中等

参数方程（θ为参数）化为普通方程是（ ）
A．x²+（y-3）²=1
B．x²+（y+3）²=1
C．x+y+3=0
D．x²+

3. 难度：中等

如图，程序框图所进行的求和运算是（ ）
A．1+2+2²+2³+2⁴+2⁵
B．2+2²+2³+2⁴+2⁵
C．1+2+2²+2³+2⁴
D．2+2²+2³+2⁴

4. 难度：中等

已知在△ABC中，D是BC的中点，那么下列各式中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图为等腰直角三角形，侧视图与俯视图均为正方形，那么该几何体的表面积是（ ）

A．16
B．
C．20
D．16

6. 难度：中等

有1位老师与2名女生2名男生站成一排合影，两名女生之间只有这位老师，这样的不同排法共有（ ）
A．48种
B．24种
C．12种
D．6种

7. 难度：中等

某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌车，在A地的销售利润（单位：万元）是，在B地的销售利润（单位：万元）是，其中x为销售量（单位：辆）．若该公司在这两地共销售11辆这种品牌车，则能获得的最大利润是（ ）
A．19.45万元
B．22.45万元
C．25.45万元
D．28.45万元

8. 难度：中等

定义集合{x|a≤x≤b}的“长度”是b-a．已知m，n∈R，集合M={x|m}，N={x|n-}，且集合M，N都是集合{x|1≤x≤2}的子集，那么集合M∩N的“长度”的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、解答题

9. 难度：中等

已知等差数列{a_n}中，a₂=-2，公差d=-2，那么数列{a_n}的前5项和S₅=    ．

10. 难度：中等

某班有50名学生，在一次百米测试中，成绩全部在13秒与18秒之间，将测试成绩分成五组：第一组[13，14），第二组[14，15），…，第五组[17，18]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，若成绩大于或等于15秒，且小于17秒认为良好，则该班在这次百米测试中成绩良好的人数是    ．

11. 难度：中等

已知x，y满足不等式组，那么z=x+2y的最大值是    ．

12. 难度：中等

如图，圆O是△ABC的外接圆，过点C的切线交AB的延长线于点D，AB=BC=3，CD=2，则cosD=    ．

13. 难度：中等

已知函数f（x）=，且方程f（x）=0有且只有一个实数根，那么实数k的取值范围是    ．

14. 难度：中等

在直角坐标系中，点O为坐标原点，已知，（i=1，2，3…，n，…），△A_iB_iA_i+1（i=1，2，…，n，…）是等边三角形，且点B₁，B₂…B_n…在同一条曲线C上，那么曲线C的方程是    ；设点B_n（i=1，2，…n…）的横坐标是n（n∈N*）的函数f（n），那么f（n）=    ．

15. 难度：中等

已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos²x+1．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间[-，0]上的最大值和最小值．

16. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是梯形，AD∥BC，∠DAB=90°，PA⊥平面ABCD，PA=AB=BC=2，AD=1．
（I）求证：BC⊥平面PAB；
（II）求异面直线PC与AB所成角的余弦值；
（III）在侧棱PA上是否存在一点E，使得平面CDE与平面ADC所成角的余弦值是，若存在，求出AE的长；若不存在，说明理由．

17. 难度：中等

有甲、乙、丙三人到某公司面试，甲、乙通过面试的概率分别为，，丙通过面试的概率为P，且三人能否通过面试相互独立．记X为通过面试的人数，其分布列为

X		1	2	3
P		a	b	c

（I）求P的值；
（II）求至少有两人通过面试的概率；
（III）求数学期望EX．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=lnx-a²x²+ax（a∈R）．
（1）当a=1时，求函数f（x）最大值；
（2）若函数f（x）在区间（1，+∞）上是减函数，求实数a的取值范围．

19. 难度：中等

已知椭圆C的焦点在y轴上，离心率为，且短轴的一个端点到下焦点F的距离是．
（I）求椭圆C的标准方程；
（II）设直线y=-2与y轴交于点P，过点F的直线l交椭圆C于A，B两点，求△PAB面积的最大值．

20. 难度：中等

对于数列{a_n}，从第二项起，每一项与它前一项的差依次组成等比数列，称该等比数列为数列{a_n}的“差等比数列”，记为数列{b_n}．设数列{b_n}的首项b₁=2，公比为q（q为常数）．
（I）若q=2，写出一个数列{a_n}的前4项；
（II）（ⅰ）判断数列{a_n}是否为等差数列，并说明你的理由；
（ⅱ）a₁与q满足什么条件，数列{a_n}是等比数列，并证明你的结论；
（III）若a₁=1，1＜q＜2，数列{a_n+c_n}是公差为q的等差数列（n∈N*），且c₁=q，求使得c_n＜0成立的n的取值范围．