2012年海南省高考数学压轴卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合M=﹛x|-3＜x≤5﹜，N=﹛x|x＜-5或x＞5﹜，则M∪N=（ ）
A．﹛x|x＜-5或x＞-3﹜
B．﹛x|-5＜x＜5﹜
C．﹛x|-3＜x＜5﹜
D．﹛x|x＜-3或x＞5﹜

2. 难度：中等

若复数z满足z（1+i）=1-i（i是虚数单位），则z的共轭复数=（ ）
A．-i
B．
C．i
D．

3. 难度：中等

已知映射f：A→B，其中A=B=R，对应法则，若对实数k∈B，在集合A中不存在元素x使得f：x→k，则k的取值范围是（ ）
A．k≤0
B．k＞0
C．k≥0
D．k＜0

4. 难度：中等

已知函数y=2sin（ωx+φ）满足f（-x）=f（x），其图象与直线y=2的某两个交点横坐标为x₁，x₂，|x₁-x₂|的最小值为π，则（ ）
A．，
B．ω=2，
C．，
D．ω=2，

5. 难度：中等

实数x，y满足条件，则2^x-y的最小值为（ ）
A．16
B．4
C．1
D．

6. 难度：中等

下列命题中正确命题的个数是   （ ）
（1）cosα≠0是的充分必要条件；
（2）若a＞0，b＞0，且，则ab≥4；
（3）若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后，则样本的方差不变；
（4）设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），若P（ξ＞1）=p，则．
A．4
B．3
C．2
D．1

7. 难度：中等

的展开式中含x的正整数指数幂的项数是（ ）
A．0
B．2
C．4
D．6

8. 难度：中等

在同一平面直角坐标系中，函数y=g（x）的图象与y=e^x的图象关于直线y=x对称．而函数y=f（x）的图象与y=g（x）的图象关于y轴对称，若f（m）=-1，则m的值是（ ）
A．-e
B．
C．e
D．

9. 难度：中等

曲线y=x²和曲线y²=x围成的图形面积是（ ）
A．
B．
C．1
D．

10. 难度：中等

过双曲线的左焦点F（-c，0），（c＞0），作圆：x²+y²=的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若=（+），则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

在△ABC中，P是BC边中点，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，则△ABC的形状为（ ）
A．直角三角形
B．钝角三角形
C．等边三角形
D．等腰三角形但不是等边三角形

12. 难度：中等

直线x=t（t＞0）与函数f（x）=x²+1，g（x）=lnx的图象分别交于A、B两点，当|AB|最小时，t值是（ ）
A．1
B．
C．
D．

二、解答题

13. 难度：中等

已知，，则=    ．

14. 难度：中等

如图所示的程序是计算函数f（x）函数值的程序，若输出的y值为4，则输入的x值是    ．

15. 难度：中等

已知抛物线y²=2px（p＞0），过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为    ．

16. 难度：中等

四棱锥P-ABCD的三视图如图所示，四棱锥P-ABCD的五个顶点都在一个球面上，E、F分别是棱AB、CD的中点，直线EF被球面所截得的线段长为，则该球表面积为    ．

17. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的前四项和为10，且a₂，a₃，a₇成等比数列．
（1）求通项公式a_n
（2）设，求数列b_n的前n项和s_n．

18. 难度：中等

某班甲、乙两名同学参加l00米达标训练，在相同条件下两人l0次训练的成绩（单位：秒）如下：

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
甲	11.6	12.2	13.2	13.9	14.0	11.5	13.1	14.5	11.7	14.3
乙	12.3	13.3	14.3	11.7	12.0	12.8	13.2	13.8	14.1	12.5

（I）请作出样本数据的茎叶图；如果从甲、乙两名同学中选一名参加学校的100米比赛，从成绩的稳定性方面考虑，选派谁参加比赛更好，并说明理由（不用计算，可通过统计图直接回答结论）．
（Ⅱ）从甲、乙两人的10次训练成绩中各随机抽取一次，求抽取的成绩中至少有一个比12.8秒差的概率．
（Ⅲ）经过对甲、乙两位同学的多次成绩的统计，甲、乙的成绩都均匀分布在[11.5，14.5]之间，现甲、乙比赛一次，求甲、乙成绩之差的绝对值小于0.8秒的概率．

19. 难度：中等

如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，，点M在线段EC上．
（I）当点M为EC中点时，求证：BM∥平面ADEF；
（II）当平面BDM与平面ABF所成锐二面角的余弦值为时，求三棱锥M-BDE的体积．

20. 难度：中等

如图所示，点P在圆O：x²+y²=4上，PD⊥x轴，点M在射线DP上，且满足（λ≠0）．
（Ⅰ）当点P在圆O上运动时，求点M的轨迹C的方程，并根据λ取值说明轨迹C的形状．
（Ⅱ）设轨迹C与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，直线2x-3y=0与轨迹C交于点E、F，点G在直线AB上，满足，求实数λ的值．

21. 难度：中等

已知函数，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是5x-4y+1=0．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）设g（x）=2ln（x+1）-mf（x），若当x∈[0，+∞）时，恒有g（x）≤0，求m的取值范围．

22. 难度：中等

选修4-1：几何证明选讲
如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是的中点，BD交AC于E．
（Ⅰ）求证：CD²=DE•DB；
（Ⅱ）若CD=2，O到AC的距离为1，求⊙O的半径r．

23. 难度：中等

选修4-4：坐标系与参数方程
平面直角坐标系中，直线l的参数方程是（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为4ρ²cos2θ-4ρsinθ+3=0．
（Ⅰ）求直线l的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线l与曲线C相交于A、B两点，求|AB|．

24. 难度：中等

选修4-5：不等式选讲
已知函数f（x）=|x-2|-|x+1|．
（Ⅰ）求证：-3≤f（x）≤3；
（Ⅱ）解不等式f（x）≥x²-2x．