2012年广东省深圳市高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

集合{iⁿ|n∈N^*}（其中i是虚数单位）中元素的个数是（ ）
A．1
B．2
C．4
D．无穷多个

2. 难度：中等

设随机变量X～N（1，3²），若P（X≤c=P（X＞c），则c等于（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

3. 难度：中等

已知命题p：“存在正实数a，b，使得；lg（a+b）=lga+lgb”；命题q：“空间两条直线异面的充分必要条件是它们不同在任何一个平面内”．则它们的真假是（ ）
A．p，q都是真命题
B．p是真命题，q是假命题
C．p，q都是假命题
D．p是假命题，q是真命题

4. 难度：中等

在学校的一次演讲比赛中，高一、高二、高三分别有1名、2名、3名同学获奖，将这六名同学排成一排合影，要求同年级的同学相邻，那么不同的排法共有（ ）
A．6种
B．36种
C．72种
D．120种

5. 难度：中等

设a，b，c，d∈R，若a，1，b成等比数列，且c，1，d 成等差数列，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．a+b≤2cd
B．a+b≥2cd
C．|a+b|≤2cd
D．|a+b|≥2cd

6. 难度：中等

设函数，若f（x）的值域为R，则常数a的取值范围是（ ）
A．（-∞，-1]∪[2，+∞）
B．B[-1，2]
C．（-∞，-2]∪[1，+∞）
D．[-2，1]

7. 难度：中等

如图，直线l和圆c，当l从l0开始在平面上绕点O按逆时针方向匀速转动（转动角度不超过90度）时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，这个函数的图象大致是（ ）

A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

如果函数y=|x|-1的图象与方程x²+λy²=1的曲线恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是（ ）
A．（-∞，-1]∪[0，1）
B．[-1，1）
C．{-1，0}
D．[-1，0）∪（1，+∞）

二、解答题

9. 难度：中等

在实数范围内，方程|x|+|x+1|=1的解集是    ．

10. 难度：中等

某机器零件的俯视图是直径为24mm的圆（包括圆心），主视图和侧视图完全相同，如图所示．则该机器零件的体积是    mm³（结果保留π）．

11. 难度：中等

已知平面向量，满足条件+=（0，1），-=（-1，2），则•=    ．

12. 难度：中等

执行图中程序框图表示的算法，若输入m=5533，n=2012，则输出d=    （注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“：=”）

13. 难度：中等

某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据（如表），由最小二乘法求得回归方程．

现发现表中有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为    ．

14. 难度：中等

（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知直线l：p（sinθ-cosθ）=a把曲线C：p=2cosθ所围成的区域分成面积相等的两部分，则常数a的值是    ．

15. 难度：中等

（几何证明选讲选做题）如图，AB是圆O的直径，弦AD和BC相交于点P，连接CD．若∠APB=120°，则等于    ．

16. 难度：中等

已知函数f（x）=sinx+cos（x-），x∈R．
（1）求f（x）的最大值；
（2）设△ABC中，角A、B的对边分别为a、b，若B=2A，且b=2af（A-），求角C的大小．

17. 难度：中等

深圳市某校中学生篮球队假期集训，集训前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球），3个是旧球（即至少用过一次的球）．每次训练，都从中任意取出2个球，用完后放回．
（1）设第一次训练时取到的新球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；
（2）求第二次训练时恰好取到一个新球的概率．

18. 难度：中等

如图，已知正方形ABCD在水平面上的正投影（投影线垂直于投影面）是四边形A′B′C′D′，其中A与A'重合，且BB′＜DD′＜CC′．
（1）证明AD′∥平面BB′C′C，并指出四边形AB′C′D′的形状；
（2）如果四边形中AB′C′D′中，AD′=，AB′=，正方形的边长为，求平面ABCD与平面AB′C′D′所成的锐二面角θ的余弦值．

19. 难度：中等

已知数列{a_n}满足：a₁=1，a₂=2，且a_n+2=（2+cosnπ）（a_n-1）+3，n∈N^*．
（1）求通项公式a_n；
（2）设{a_n}的前n项和为S_n，问：是否存在正整数m、n，使得S_2n=mS_2n-1？若存在，请求出所有的符合条件的正整数对（m，n），若不存在，请说明理由．

20. 难度：中等

如图，已知动圆M过定点F（1，0）且与x轴相切，点F关于圆心M的对称点为F′，
动点F′的轨迹为C．
（1）求曲线C的方程；
（2）设A（x，y）是曲线C上的一个定点，过点A任意作两条倾斜角互补的直线，分别与曲线C相交于另外两点P、Q．
①证明：直线PQ的斜率为定值；
②记曲线C位于P、Q两点之间的那一段为l．若点B在l上，且点B到直线PQ的距离最大，求点B的坐标．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=x-xlnx，g（x）=f（x）-xf′（a），其中f′（a）表示函数f（x）在x=a处的导数，a为正常数．
（1）求g（x）的单调区间；
（2）对任意的正实数x₁，x₂，且x₁＜x₂，证明：（x₂-x₁）f′（x₂）＜f（x₂）-f（x₁）＜（x₂-x₁）f′（x₁）；
（3）对任意的n∈N^*，且n≥2，证明：．