2012年陕西省高三教学质量检测数学试卷3（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若i为虚数单位，且复数z满足z•3i=-6+5i，则z=（ ）
A．+2i
B．2+
C．-+2i
D．-2+

2. 难度：中等

已知两个非空集合A={x|x（x-3）＜4}，B={x|}，若A∩B=B，则实数a的取值范围为（ ）
A．-1＜a＜1
B．-2＜a＜2
C．0≤a＜2
D．a＜2

3. 难度：中等

已知，是两个单位向量，且． 若点C在∠AOB内，且∠AOC=30°，（m，n∈R），则=（ ）
A．
B．3
C．
D．

4. 难度：中等

函数y=2^x-2^-x是（ ）
A．奇函数，在区间（0，+∞）上单调递增
B．奇函数，在区间（0，+∞）上单调递减
C．偶函数，在区间（-∞，0）上单调递增
D．偶函数，在区间（-∞，0）上单调递减

5. 难度：中等

阅读右边程序框图，若输入的变量n为100，则输出变量S为（ ）

A．2500
B．2550
C．2600
D．2650

6. 难度：中等

若实数x，y的约束条件为，则z=x+y-2的最大值为（ ）
A．4
B．3
C．0
D．-1.5

7. 难度：中等

已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A．8
B．
C．
D．

8. 难度：中等

若θ是三角形的一个内角，且m=sinθ+cosθ，则“0＜m＜1”是“方程x²sinθ+y²cosθ=1表示的曲线是双曲线”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

9. 难度：中等

已知整数如下规律排一列：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），…，则第60个数对是（ ）
A．（5，7）
B．（6，6）
C．（4，8）
D．（7，5）

10. 难度：中等

对实数a与b，定义新运算“⊗”：a⊗b=．设函数f（x）=（x²-2）⊗（x-1），x∈R．若函数y=f（x）-c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是（ ）
A．（-1，1]∪（2，+∞）
B．（-2，-1]∪（1，2]
C．（-∞，-2）∪（1，2]
D．[-2，-1]

二、解答题

11. 难度：中等

若函数f（x）=，则f（f（-3））=    ．

12. 难度：中等

数学老师布置了10道选择题作为课堂练习，数学课代表将全班50名同学的答题情况绘制成了条形统计图（如图），则每位同学答对的题数所组成样本的中位数和众数分别为    ．

13. 难度：中等

函数y=sin（πx+φ）（φ＞0）的部分图象如图所示，设P是图象的最高点，A，B是图象与x轴的交点，则tan∠APB=    ．

14. 难度：中等

已知点F是抛物线y²=6x的焦点，抛物线内有一定点A（2，3），P是抛物线上的一动点，要使△PAF的周长最小，则点P的坐标是    ．

15. 难度：中等

选做题（请考生从以下三个小题中任选一个作答，若多选，则按所选的第一题计分．）
A（坐标系与参数方程选讲选做题）直线l：（t为参数）被曲线C：（θ为参数）所截得的弦长为    ．
B（不等式选讲选做题）若存在实数x满足|x-3|+|x-m|＜5，则实数m的取值范围为    ．
C（几何证明选讲选做题）若一直角三角形的内切圆与外接圆的面积分别π与9π，则该三角形的面积为    ．

16. 难度：中等

设函数f（x）=2sin（）+1．
（Ⅰ）在图中画出y=f（x），x∈[-2，14]的图象．
（Ⅱ）求函数g（x）=f（2+x）+f（2-x）的值域．

17. 难度：中等

在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n+2ⁿ．
（Ⅰ）求证：数列{}是等差数列；
（Ⅱ）设数列{a_n}的前n项和为S_n，求证：对任意的n∈N₊，S_n+1-4a_n是一个常数．

18. 难度：中等

如图，在四棱锥0-ABCD中，OA⊥底面ABCD，且底面ABCD是边长为2的正方形，且OA=2，M，N分别为OA，BC的中点．
（Ⅰ）求证：直线MN∥平面OCD；
（Ⅱ）求点B到平面DMN的距离．

19. 难度：中等

随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润（单位：万元）为ξ．
（1）求ξ的分布列；
（2）求1件产品的平均利润（即ξ的数学期望）；
（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%．如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？

20. 难度：中等

已知椭圆的左、右焦点分别为F₁，F₂，椭圆的离心率为且经过点．M为椭圆上的动点，以M为圆心，MF₂为半径作圆M．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若圆M与y轴有两个交点，求点M横坐标的取值范围；
（3）是否存在定圆N，使得圆N与圆M相切？若存在．求出圆N的方程；若不存在，说明理由．

21. 难度：中等

设函数．
（Ⅰ）当m=3时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）若函数f（x）有三个不相同的零点0，α，β（α＜β），且对任意的x∈[α，β]，都有不等式f（x）≥f（1）成立，求实数m的取值范围．