2012年甘肃省兰州市高三诊断数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知复数z满足（z-2）（1+i）=1-i（i为虚数单位），则z=（ ）
A．i
B．-i
C．2-i
D．2+i

2. 难度：中等

函数的反函数为（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

设等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若，则=（ ）
A．2
B．
C．
D．3

4. 难度：中等

已知点P（x，y）（x，y∈R），则“x≥2且y≥2”是“点P（x，y）在圆x²+y²=4外”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

5. 难度：中等

已知向量=（cosθ，sinθ）与=（cosθ，-sinθ）互相垂直，且θ为锐角，则函数f（x）=sin（2x-θ）的图象的一条对称轴是直线（ ）
A．x=π
B．x=
C．x=
D．x=

6. 难度：中等

曲线在点（0，-2）处的切线与直线x=0和y=x+2所围成的区域内（包括边界）有一动点P（x，y），若z=2x-y，则z的取值范围是（ ）
A．[-2，2]
B．[-2，4]
C．[-4，-2]
D．[-4，2]

7. 难度：中等

已知函数y=f（x）为奇函数，当x＞0时，f（x）=x²-2x-3，则不等式f（x）＞0的解集是（ ）
A．{x|x＜-1}∪{x|x＞3}
B．{x|x＜-3}∪{x|0＜x＜3}
C．{x|x＜-3}∪{x|x＞3}
D．{x|-3＜x＜0}∪{x|x＞3}

8. 难度：中等

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，各侧面均为正方形，侧面AA₁C₁C的对角线相交于点M，则BM与平面AA₁C₁C所成角的大小是（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°

9. 难度：中等

若函数，又f（α）=f（β）=2，且|α-β|的最小值等于3π，则正数ω的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

过点M（-2，0）的直线l与椭圆x²+2y²=2交于P₁，P₂，线段P₁P₂的中点为P．设直线l的斜率为k₁（k₁≠0），直线OP的斜率为k₂，则k₁k₂等于（ ）
A．-2
B．2
C．
D．-

11. 难度：中等

正棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线．若一个正n棱柱有10条对角线那么n=（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7

12. 难度：中等

已知F为双曲线的右焦点，P为双曲线C右支上一点，且位于x轴上方，M为直线上一点，O为坐标原点，已知，且，则双曲线C的离心率为（ ）
A．2
B．
C．
D．4

二、解答题

13. 难度：中等

cos73°cos13°+cos17°sin13°=    ．

14. 难度：中等

三棱锥P-ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，且长度分别为3、4、5，则三棱锥P-ABC外接球的表面积是    ．

15. 难度：中等

若（1-2x）²⁰¹²=a+a₁x+a₂x²+…+a₂₀₁₂x²⁰¹²，则=    ．

16. 难度：中等

双曲线一条渐近线的倾斜角为，离心率为e，则的最小值为    ．

17. 难度：中等

△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（A为锐角）．
（1）求A的大小；
（2）若a=1且，求△ABC的面积．

18. 难度：中等

某市为了推动全民健身运动在全市的广泛开展，该市电视台开办了健身竞技类栏目《健身大闯关》，规定参赛者单人闯关，参赛者之间相互没有影响，通过关卡者即可获奖．现有甲、乙、丙3人参加当天的闯关比赛，已知甲获奖的概率为，乙获奖的概率为，丙获奖而甲没有获奖的概率为．
（1）求三人中恰有一人获奖的概率；
（2）记三人中获奖的人数为ξ，求ξ的数学期望．

19. 难度：中等

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC为正三角形，侧面ACC₁A₁是的菱形，且侧面ACC₁A₁⊥底面ABC，D为AC的中点．
（1）求证：平面A₁BD⊥平面ACC₁A₁；
（2）若点E为AA₁上的一点，当CE⊥BB₁时，求二面角A-EC-B的正切值．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}中
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）已知{b_n}的前n项和为S_n，且对任意正整数N，都有成立．求证：．

21. 难度：中等

已知点M是直线上的动点，为定点，过点M且垂直于直线的直线和线段MF的垂直平分线相交于点P．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）经过点Q（a，0）（a＞0）且与x轴不垂直的直线l与点P的轨迹有两个不同交点A、B，若在x轴上存在点C，使得△ABC为正三角形，求实数a的取值范围．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=x+ln（1-x），e为自然对数的底数．
（1）若x＜1时，恒有f（x）+m≤0成立，求实数m的取值范围；
（2）若n≥2，n∈N^*，证明．