2012年浙江省高考数学冲刺试卷Ⅳ（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

2. 难度：中等

某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为（ ）

A．k＞4？
B．k＞5？
C．k＞6？
D．k＞7？

3. 难度：中等

下列命题中的假命题是（ ）
A．∃x∈R，lgx=0
B．∃x∈R，tanx=1
C．∀x∈R，x³＞0
D．∀x∈R，2^x＞0

4. 难度：中等

如图所示，在△ABC中，AD⊥AB，，则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

已知集合A={x|-2≤x≤7 }，B={x|m+1＜x＜2m-1}，若A∪B=A，则函数m的取值范围是（ ）
A．-3≤m≤4
B．-3＜m＜4
C．2＜m＜4
D．m≤4

6. 难度：中等

已知数列{a_n}满足a_n+1=a₁-a_n-1（n≥2），a₁=a，a₂=b，设S_n=a₁+a₂+…+a_n，则下列结论正确的是（ ）
A．a₁₀₀=a-b，S₁₀₀=50（a-b）
B．a₁₀₀=a-b，S₁₀₀=50a
C．a₁₀₀=-b，S₁₀₀=50a
D．a₁₀₀=-a，S₁₀₀=b-a

7. 难度：中等

设奇函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，且f（1）=0，则不等式x[f（x）-f（-x）]＜0的解集为（ ）
A．{x|-1＜x＜0，或＞1}
B．{x|x＜-1，或0＜x＜1}
C．{x|x＜-1，或x＞1}
D．{x|-1＜x＜0，或0＜x＜1}

8. 难度：中等

（1+x）ⁿ⁺¹的展开式中含x^n-1项的系数（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知a＞0，b＞0，c＞0，且ab=1，a²+b²+c²=4，则ab+bc+ac的最大值为（ ）
A．
B．
C．3
D．4

10. 难度：中等

已知点F是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（ ）
A．（1，+∞）
B．（1，2）
C．（1，1+）
D．（2，1+）

二、解答题

11. 难度：中等

如图是某几何体的三视图，其中正视图、俯视图的长均为4，宽分别为2与3，侧视图是等腰三角形，则该几何体的体积是    ．

12. 难度：中等

已知钝角三角形ABC的最大边长为4，其余两边长分别为x，y，那么以（x，y）为坐标的点所表示的平面区域面积是    ．

13. 难度：中等

计算=    ．

14. 难度：中等

若焦点在x轴上的椭圆上有一点，使它与两焦点的连线互相垂直，则正数b的取值范围是    ．

15. 难度：中等

在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为    ．

16. 难度：中等

对正整数n，设曲线y=xⁿ（1-x）在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为a_n．
（i）a_n=    ；
（ii）数列的前n项和S_n=    ．

17. 难度：中等

一个袋中有大小相同的标有1、2、3、4、5、6的6个小球，某人做如下游戏，每次从袋中拿一个球（拿后放回），记下标号．若拿出球的标号是3的倍数，则得1分，否则得-1分，则拿4次所得分数ξ的数学期望是    ．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos²x-1（x∈R）
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及在区间[0，]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）若f（x）=，x∈[，]，求cos2x的值．

19. 难度：中等

已知f（x）=3-4^x+2xln2，数列{a_n} 满足：-＜a₁＜0，=f（a_n） （n∈N^*）
（1）求f（x）在[-，0]上的最大值和最小值；
（2）用数学归纳法证明：-＜a_n＜0；
（3）判断a_n与a_n+1（n∈N^*）的大小，并说明理由．

20. 难度：中等

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，点E在棱AB上移动．
（1）证明：D₁E⊥A₁D；
（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD₁的距离；
（3）AE等于何值时，二面角D₁-EC-D的大小为．

21. 难度：中等

已知点F（0，1），直线l：y=-1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）已知圆M过定点D（0，2），圆心M在轨迹C上运动，且圆M与x轴交于A、B两点，设|DA|=l₁，|DB|=l₂，求的最大值．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=x³-ax-b （a，b∈R）
（1）当a=b=1时，求函数f（x）的单调区间
（2）是否存在a，b，使得对任意的x∈[0，1]成立？若存在，求出a，b的值，若不存在，说明理由．