2011-2012学年贵州省贵阳市重点中学高三（下）七校联考数学试卷（理科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，A（1，2），B（-1，3），则=    ．

2. 难度：中等

复数的虚部为    ．

3. 难度：中等

函数y=sin²x-sin2x的最小正周期为    ．

4. 难度：中等

直线x-2y+1=0关于直线x=3对称的直线方程为    ．

5. 难度：中等

定义集合运算：A*B={z|z=xy，x∈A，y∈B}．设A={1，2}，B={3，6}，则集合A*B的所有元素之和为    ．

6. 难度：中等

从集合{1，2，3，4，5}中任取两数，其乘积不小于10的概率为    ．

7. 难度：中等

若实数a、b、m满足2^a=5^b=m，且，则m的值为    ．

8. 难度：中等

若对于任意实数x，都有，则a₃的值为    ．

9. 难度：中等

设等差数列{a_n}的公差d为-2，前n项和为S_n，则=    ．

10. 难度：中等

函数的值域为    ．

11. 难度：中等

与直线x+y-2=0和圆x²+y²-12x-12y+70=0都相切的半径最小的圆的标准方程为    ．

12. 难度：中等

已知S、A、B、C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=1，AB=BC=2，则球O的表面积为    ．

13. 难度：中等

如果一个正四位数的千位数a、百位数b、十位数c和个位数d满足关系（a-b）（c-d）＜0，则称其为“彩虹四位数”，例如2012就是一个“彩虹四位数”．那么，正四位数中“彩虹四位数”的个数为    ．（直接用数字作答）

14. 难度：中等

某校数学课外小组在坐标纸上，为一块空地设计植树方案如下：第k棵树种植在点P_k（x_k，y_k）处，其中x₁=1，y₁=1，当k≥2时，，T（a）表示非负实数a的整数部分，例如T（3.7）=3，T（0.4）=0．按此方案，在第2012棵树的种植点坐标应为    ．

二、选择题

15. 难度：中等

“|x|＞3成立”是“x（x-3）＞0成立”的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．非充分非必要条件

16. 难度：中等

已知向量、满足，，与的夹角为120°，则等于（ ）
A．3
B．
C．
D．5

17. 难度：中等

函数y=f（x+1）为定义在R上的偶函数，且当x≥1时，f（x）=2^x-1，则下列写法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．

18. 难度：中等

椭圆上有n个不同的点：P₁，P₂，P_n，，椭圆的右焦点为F，数列{|P_nF|}是公差大于的等差数列，则n的最大值为（ ）
A．199
B．200
C．198
D．201

三、解答题

19. 难度：中等

在△ABC中，，．
（1）求角C的大小；
（2）如果△ABC的最大边长为，求最小的边长．

20. 难度：中等

如图所示，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=1，BC=2，CC₁=5，M为棱CC₁上一点．
（1）若，求异面直线A₁M和C₁D₁所成角的正切值；
（2）是否存在这样的点M使得BM⊥平面A₁B₁M？若存在，求出C₁M的长；若不存在，请说明理由．

21. 难度：中等

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=a，．
（1）设，求数列{b_n}的通项公式；
（2）若对于一切n∈N^*，都有a_n+1≥a_n恒成立，求a的取值范围．

22. 难度：中等

若函数f（x）定义域为R，满足对任意x₁，x₂∈R，有f（x₁+x₂）≤f（x₁）+f（x₂），则称f（x）为“V形函数”；若函数g（x）定义域为R，g（x）恒大于0，且对任意x₁，x₂∈R，有lgg（x₁+x₂）≤lgg（x₁）+lgg（x₂），则称g（x）为“对数V形函数”．
（1）当f（x）=x²时，判断f（x）是否为V形函数，并说明理由；
（2）当g（x）=x²+2时，证明：g（x）是对数V形函数；
（3）若f（x）是V形函数，且满足对任意x∈R，有f（x）≥2，问f（x）是否为对数V形函数？证明你的结论．

23. 难度：中等

设C₁是以F为焦点的抛物线y²=2px（p＞0），C₂是以直线与为渐近线，以为一个焦点的双曲线．
（1）求双曲线C₂的标准方程；
（2）若C₁与C₂在第一象限内有两个公共点A和B，求p的取值范围，并求的最大值； 
（3）若△FAB的面积S满足，求p的值．