2012年山东省济南市高考数学三模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若全集U=R，集合A={x||2x+3|＜5}，B={x|y=log₃（x+2）}，则C_U（A∩B）=（ ）
A．{x|x≤-4或x≥1}
B．{x|x＜-4或x＞1}
C．{x|x＜-2或x＞1}
D．{x|x≤-2或x≥1}

2. 难度：中等

已知非零向量、满足向量+与向量-的夹角为，那么下列结论中一定成立的是（ ）
A．=
B．||=||，
C．⊥
D．∥

3. 难度：中等

S_n是数列{a_n}的前n项和，则“S_n是关于n的二次函数”是“数列{a_n}为等差数列”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”．给出下列函数：
①f（x）=sinxcosx；②f（x）=2sin（x+）；③f（x）=sinx+cosx；  ④f（x）=sin2x+1．
其中“同簇函数”的是（ ）
A．①②
B．①④
C．②③
D．③④

5. 难度：中等

若双曲线与直线y=x无交点，则离心率e的取值范围（ ）
A．（1，2）
B．（1，2]
C．（1，）
D．（1，]

6. 难度：中等

一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（ ）
A．4
B．6
C．8
D．12

7. 难度：中等

已知实数x∈[0，8]，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于54的概率为（ ）

A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

函数f（x）=log₂|x|，g（x）=-x²+2，则f（x）•g（x）的图象只可能是（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知α、β是三次函数f（x）=x³+ax²+2bx（a，b∈R）的两个极值点，且α∈（0，1），β∈（1，2），则的取值范围是（ ）
A．（-）
B．（）
C．（1，+∞）
D．（-）∪（1，+∞）

10. 难度：中等

过抛物线y²=2px焦点F作直线l交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，则△ABC为（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．不确定
D．钝角三角形

11. 难度：中等

将1，2，3，9这9个数字填在如图的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大，当3，4固定在图中的位置时，填写空格的方法数为（ ）
A．6种
B．12种
C．18种
D．24种

12. 难度：中等

定义在R上的函数f（x）满足（x-1）f′（x）≤0，且y=f（x+1）为偶函数，当|x₁-1|＜|x₂-1|时，有（ ）
A．f（2-x₁）≥f（2-x₂）
B．f（2-x₁）=f（2-x₂）
C．f（2-x₁）＜f（2-x₂）
D．f（2-x₁）≤f（2-x₂）

二、解答题

13. 难度：中等

i虚数单位，在1，2，3…，2012中有    个正整数n使得（1+i）²ⁿ=-2ⁿ•i成立．

14. 难度：中等

已知函数f（x）=3x²+2x+1，若（a＞0）成立，则a=    ．

15. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C所对的边为a，b，c，若a，b，c成等差数列，则角B的范围是    ．

16. 难度：中等

下列正确命题的序号是   
（1）“m=-2”是直线（m+2）x+my+1=0与直线（m-2）x+（m+2）y-3=0相互垂直的必要不充分条件；
（2）∃a∈R，使得函数y=|x+1|+|x+a|是偶函数；
（3）不等式：≥，≥，≥，…，由此猜测第n个不等式为…+≥…+
（4）若二项式的展开式中所有项的系数之和为243，则展开式中x^-4的系数是40．

17. 难度：中等

已知函数f（x）=asinx+bcos（x-）的图象经过点（），（，0）．
（1）求实数a，b的值；
（2）求函数f（x）的周期及单调增区间．

18. 难度：中等

为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），
已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，其中第2小组的频数为12．
（1）求该校报考飞行员的总人数；
（2）以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的同学中（人数很多）任选三人，设X表示体重超过60公斤的学生人数，求X的分布列和数学期望．

19. 难度：中等

在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ACC₁A₁⊥面ABC，，A₁C=CA=AB=a，AB⊥AC，D为AA₁中点．
（1）求证：CD⊥面ABB₁A₁；
（2）在侧棱BB₁上确定一点E，使得二面角E-A₁C₁-A的大小为．

20. 难度：中等

经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内（以30天计），第t天（1≤t≤30，t∈N﹢）的旅游人数f（t） （万人）近似地满足f（t）=4+，而人均消费g（t）（元）近似地满足g（t）=120-|t-20|．
（1）求该城市的旅游日收益w（t）（万元）与时间t（1≤t≤30，t∈N^﹢）的函数关系式；
（2）求该城市旅游日收益的最小值．

21. 难度：中等

已知直线l：y=x+1，圆O：，直线l被圆截得的弦长与椭圆C：的短轴长相等，椭圆的离心率．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点M（0，）的动直线l交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过定点T？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．

22. 难度：中等

设函数f（x）=x²-2（-1）^klnx（k∈N^*），f^′（x）表示f（x）导函数．
（I）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）当k为偶数时，数列{a_n}满足a₁=1，．证明：数列{}中不存在成等差数列的三项；
（Ⅲ）当k为奇数时，设，数列{b_n}的前n项和为S_n，证明不等式e对一切正整数n均成立，并比较S₂₀₁₂-1与ln2012的大小．