2012年湖南省高考数学压轴卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设函数y=的定义域为A，集合B={y|=x²，x∈R}，则A∩B=（ ）
A．ø
B．[0，+∝）
C．[1，+∝）
D．[-1，+∞）

2. 难度：中等

已知i为虚数单位，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

3. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，3（a₂+a₆）+2（a₈+a₁₀+a₁₂）=24，则此数列前13项的和为（ ）
A．13
B．26
C．52
D．156

4. 难度：中等

下列说法正确的是（ ）
A．函数图象的一条对称轴是直线
B．若命题P：“∃x∈R，x²-2x-1＞0”，则命题￢P“∀x∈R，x²-2x-1＜0”
C．“a=1”是“直线x-ay=0与直线x+ay=0互相垂直”的充要条件
D．若

5. 难度：中等

已知圆x²+y²=9与圆x²+y²-4x+4y-1=0关于直线l对称，则直线l的方程为（ ）
A．4x-4y+1=0
B．x-4=0
C．x+y=0
D．x-y-2=0

6. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，输出的k值是（ ）

A．4
B．5
C．6
D．7

7. 难度：中等

已知直角坐标平面内的两个向量，，使得平面内任何一个向量都可以唯一表示成，则m的取值范围是（ ）
A．（-∞，-3）∪（-3，+∞）
B．{-3}
C．（-3，+3）
D．（0，+∞）

8. 难度：中等

从一个棱长为1的正方体中切去一部分，得到一个几何体，其三视图如图，则该几何体的体积为（ ）

A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

函数f（x）的图象如图所示，已知函数F（x）满足F′（x）=f（x），则F（x）的函数图象可能是（ ）

A．
B．
C．
D．

二、解答题

10. 难度：中等

已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，则曲线C上的点到直线（t为参数）的距离的最大值为    ．

11. 难度：中等

用0.618法寻找某实验的最优加入量时，若当前存优范围是[628，774]，好点是718，则此时要做试验的加入点值是    ．

12. 难度：中等

定义在R上的奇函数f（x）满足：x≤0时，f（x）=2^x+b则f（2）=    ．

13. 难度：中等

有一个底面圆半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为    ．

14. 难度：中等

已知x，y满足，则z=|y-x|的最大值为    ．

15. 难度：中等

设斜率为2的直线l过抛物线y²=ax（a＞0）的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF（O为坐标原点）的面积为4，则抛物线的方程为    ．

16. 难度：中等

函数y=kx+b，其中k，b是常数，其图象是一条直线，称这个函数为线性函数，而对于非线性可导函数f（x），在已知点x附近一点x的函数值f（x）可以用下面方法求其近似代替值，f（x），利≈f（x）+f′（x）（x-x0）用这一方法，对于实数，取x的值为4，则m的近似代替值是    ．

17. 难度：中等

已知函数．
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，试判断△ABC的形状．

18. 难度：中等

现对某市工薪阶层关于“楼市限购政策”的态度进行调查，随机抽查了50人，他们月收入（单位：百元）的频数分布及对“楼市限购政策”赞成人数如下表：

月收入（单位百元）	[15，25）	[25，35）	[35，45）	[45，55）	[55，65）	[65，75）
频数	5	10	15	10	5	5
赞成人数	4	8	12	5	2	1

（Ⅰ）根据以上统计数据填写下面2×2列联表，并回答是否有99%的把握认为月收入以5500元为分界点对“楼市限购政策”的态度有差异？

	月收入不低于55百元的人数	月收入低于55百元的人数	合计
赞成	a=	b=
不赞成	c=	d=
合计

（Ⅱ）若从月收入在[55，65）的被调查对象中随机选取两人进行调查，求至少有一人不赞成“楼市限购政策”的概率．
（参考公式：K²=，其中n=a+b+c+d．）
参考值表：

P（k^2≥k）	0.50	0.40	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	0.455	0.708	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

19. 难度：中等

如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4．E，F分别在线段BC和AD上，EF∥AB，将矩形ABEF沿EF折起．记折起后的矩形为MNEF，且平面MNEF⊥平面ECDF．

（Ⅰ）求证：NC∥平面MFD；
（Ⅱ）若EC=3，求证：ND⊥FC；
（Ⅲ）求四面体NFEC体积的最大值．

20. 难度：中等

长沙市“两会”召开前，某政协委员针对自己提出的“环保提案”对某处的环境状况进行了实地调研．据测定，该处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源的距离成反比，比例常数为k（k＞0）．现已知相距36km的A，B两家化工厂（污染源）的污染强度分别为正数a，b，它们连线上任意一点C处的污染指数y等于两化工厂对该处的污染指数之和．设AC=x（km）．
（Ⅰ）试将y表示为x的函数；
（Ⅱ）若a=1时，y在x=6处取得最小值，试求b的值．

21. 难度：中等

已知椭圆的离心率为，其左、右焦点分别为F₁、F₂，点P是椭圆上一点，且，|OP|=1（O为坐标原点）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点且斜率为k的动直线l交
椭圆于A、B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M的坐标，若不存在，说明理由．

22. 难度：中等

已知在数列{a_n}中，a₁=t，a₂=t²（t＞0且t≠1）．是函数f（x）=a_n-1x³-3[（t+1）a_n-a_n+1]x+1（n≥2）的一个极值点．
（1）证明数列{a_n+1-a_n}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）记，当t=2时，数列{b_n}的前n项和为S_n，求使S_n＞2008的n的最小值；
（3）当t=2时，是否存在指数函数g（x），使得对于任意的正整数n有成立？若存在，求出满足条件的一个g（x）；若不存在，请说明理由．