2012年广东省梅州市高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设a，b∈R，若复数z=，则z在复平面上对应的点在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

2. 难度：中等

已知集合，则集合{x|x≥1}为（ ）
A．M∩N
B．M∪N
C．C_R（M∩N）
D．C_R（M∪N）

3. 难度：中等

如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为．则该几何体的俯视图可以是（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

设ω＞0，函数y=sin（ωx+）+2的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．3

5. 难度：中等

平面向量，共线的充要条件是（ ）
A．，方向相同
B．，两向量中至少有一个为零向量
C．∃λ∈R，
D．存在不全为零的实数λ₁，λ₂，

6. 难度：中等

函数y=的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

将甲、乙、丙、丁四名实习老师分到三个不同的班，每个班至少分到一名老师，且甲、乙两名老师不能分到同一个班，则不同分法的种数为（ ）
A．28
B．24
C．30
D．36

8. 难度：中等

非空集合G关于运算⊕满足：（1）对于任意a、b∈G，都有a⊕b∈G；（2）存在e∈G，使对一切a∈G都有a⊕e=e⊕a=a，则称G关于运算⊕为“融洽集”，现在给出集合和运算：：
①G={非负整数}，⊕为整数的加法；
②G={偶数}，⊕为整数的乘法；
③G={平面向量}，⊕为平面向量的加法；
④G={虚数}，⊕为复数乘法，其中G为关于运算⊕的“融洽集”的个数为（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

二、解答题

9. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，若输入x=10，则输出y的值为    ．

10. 难度：中等

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n．若S₉=72，则a₂+a₄+a₉=    ．

11. 难度：中等

在区间[-1，1]上随机取一个数x，则cos的值介于0到之间的概率为    ．

12. 难度：中等

抛物线y²=4x的焦点为F，过点P的直线交抛物线于A、B两点，且P恰好为AB的中点，则|AF|+|BF|=    ．

13. 难度：中等

观察等式
C₅¹+C₅⁵=6，
C₉¹+C₉⁵+C₉⁹=2⁷+2³，
C₁₃¹+C₁₃⁵+C₁₃⁹+C₁₃¹³=2¹¹-2⁵，
C₁₇¹+C₁₇⁵+C₁₇⁹+C₁₇¹³+C₁₇¹⁷=2¹⁵+2⁷，
…
由以等式推测到一个一般的结论：
对于n∈N^*，C_4n+1¹+C_4n+1⁵+C_4n+1⁹+…+C_4n+1⁴ⁿ⁺¹=    ．

14. 难度：中等

（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线ρcos（θ-）=2与圆ρ=4的交点个数为    ．

15. 难度：中等

（几何证明选讲选做题）如图所示，过⊙O外一点P作一条直线与⊙O交于A，B两点，己知弦AB=6，点P到⊙O的切线长PT=4，则PA=    ．

16. 难度：中等

己知点A（1，0），B（0，1），C（2sinθ，cosθ）．
（1）若=1，其中O为坐标原点，求sin2θ的值；
（2）若，且θ在第三象限．求sin（θ+）值．

17. 难度：中等

一个社会调查机构就某社区居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）．
（1）为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，求月收入在[1500，2000）（元）段应抽出的人数；
（2）为了估计该社区3个居民中恰有2个月收入在[2000，3000）（元）的概率，采用随机模拟的方法：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，我们用0，1，2，3，…表示收入在[2000，3000）（元）的居民，剩余的数字表示月收入不在[2000，3000）（元）的居民；再以每三个随机数为一组，代表统计的结果，经随机模拟产生了20组随机数如下：
907  966  191  925  271  932  812  458
569  683  431  257  393  027  556  488
730  113  537  989
据此估计，计算该社区3个居民中恰好有2个月收入在[2000，3000）（元）的概率．
（3）任意抽取该社区6个居民，用ξ表示月收入在（2000，3000）（元）的人数，求ξ的数学期望．

18. 难度：中等

如图，已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点B₁在底面ABC上的射影落在BC上，CA=CB=a，AB=．
（1）求证：AC⊥平面BCC₁B₁；
（2）当BB₁与底面ABC所成的角为60°，且AB₁⊥BC₁时，求点B₁到平面AC₁的距离．

19. 难度：中等

己知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，不等式+≤1所表示的平面区域的面积为16．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C上是否存在两个不同的点P，Q，使P，Q关于直线y=4x+m对称？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=lnx-ax．
（1）当a=1时，求f（x）的最大值；
（2）试讨论函数y=f（x）的零点情况；
（3）设a_k，b_k，…（k=1，2，…，n）均为正数，若a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n≤b₁+b₂+…+b_n，求证：…≤1．

21. 难度：中等

定义在R上的函数f（x）满足：f（x+y）=f（x）f（y），且当x＞0时，f（x）＞1．数列{a_n}满足a_n=1-3k，f（a_n+1）=．
（1）求f（0）的值，并证明f（x）是定义域上的增函数：
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设0＜a＜b_nS_n为数列{a_n}的前n项和，是否存在实数k，使得对任意正整数n，都有a＜S_n＜b？若存在，求出k的取值范围，若不存在，请说明理由．