2012年北京市西城区高考数学一模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={x|x＞1}，B={x|x²＜4}，那么A∩B=（ ）
A．（-2，2）
B．（-1，2）
C．（1，2）
D．（1，4）

2. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，若输入x=3，则输出y的值为（ ）

A．5
B．7
C．15
D．31

3. 难度：中等

若a=log₂3，b=log₃2，，则下列结论正确的是（ ）
A．a＜c＜b
B．c＜a＜b
C．b＜c＜a
D．c＜b＜a

4. 难度：中等

如图，在复平面内，复数z₁，z₂对应的向量分别是，，则复数对应的点位于（ ）

A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

5. 难度：中等

已知正六棱柱的底面边长和侧棱长均为2cm，其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是（ ）

A．
B．
C．8cm²
D．4cm²

6. 难度：中等

若实数x，y满足条件则|x-3y|的最大值为（ ）
A．6
B．5
C．4
D．3

7. 难度：中等

设等比数列{a_n}的前n项和为S_n．则“a₁＞0”是“S₃＞S₂”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件

8. 难度：中等

已知集合，其中a_k∈{0，1}（k=0，1，2，3），且a₃≠0．则A中所有元素之和是（ ）
A．120
B．112
C．92
D．84

二、解答题

9. 难度：中等

已知向量=（1，2），=（λ，-2）．若＜-，＞=90°，则实数λ=    ．

10. 难度：中等

某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间．将测试结果分成5组：[13，14），[14，15），[15，16），[16，17），[17，18]，得到如图所示的频率分布直方图．如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1：3：7：6：3，那么成绩在[16，18]的学生人数是    ．

11. 难度：中等

函数y=sin²x+3cos²x的最小正周期为    ．

12. 难度：中等

圆x²+y²-4x+3=0的圆心到直线的距离是    ．

13. 难度：中等

已知函数则f（x）的零点是    ；f（x）的值域是    ．

14. 难度：中等

如图，已知抛物线y²=x及两点A₁（0，y₁）和A₂（0，y₂），其中y₁＞y₂＞0．过A₁，A₂分别作y轴的垂线，交抛物线于B₁，B₂两点，直线B₁B₂与y轴交于点A₃（0，y₃），此时就称A₁，A₂确定了A₃．依此类推，可由A₂，A₃确定A₄，…．记A_n（0，y_n），n=1，2，3，…．
给出下列三个结论：
①数列{y_n}是递减数列；
②对∀n∈N^*，y_n＞0；
③若y₁=4，y₂=3，则．
其中，所有正确结论的序号是    ．

15. 难度：中等

在△ABC中，已知2sinBcosA=sin（A+C）．
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）若BC=2，△ABC的面积是，求AB．

16. 难度：中等

某校高一年级开设研究性学习课程，（1）班和（2）班报名参加的人数分别是18和27．现用分层抽样的方法，从中抽取若干名学生组成研究性学习小组，已知从（2）班抽取了3名同学．
（Ⅰ）求研究性学习小组的人数；
（Ⅱ）规划在研究性学习的中、后期各安排1次交流活动，每次随机抽取小组中1名同学发言．求2次发言的学生恰好来自不同班级的概率．

17. 难度：中等

如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4．E，F分别在线段BC和AD上，EF∥AB，将矩形ABEF沿EF折起．记折起后的矩形为MNEF，且平面MNEF⊥平面ECDF．

（Ⅰ）求证：NC∥平面MFD；
（Ⅱ）若EC=3，求证：ND⊥FC；
（Ⅲ）求四面体NFEC体积的最大值．

18. 难度：中等

已知椭圆C：的离心率为，一个焦点为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线交椭圆C于A，B两点，若点A，B都在以点M（0，3）为圆心的圆上，求k的值．

19. 难度：中等

如图，抛物线y=-x²+9与x轴交于两点A，B，点C，D在抛物线上（点C在第一象限），CD∥AB．记|CD|=2x，梯形ABCD面积为S．
（Ⅰ）求面积S以x为自变量的函数式；
（Ⅱ）若，其中k为常数，且0＜k＜1，求S的最大值．

20. 难度：中等

对于数列A：a₁，a₂，a₃（a_i∈N，i=1，2，3），定义“T变换”：T将数列A变换成数列B：b₁，b₂，b₃，其中b_i=|a_i-a_i+1|（i=1，2），且b₃=|a₃-a₁|．这种“T变换”记作B=T（A）．继续对数列B进行“T变换”，得到数列C：c₁，c₂，c₃，依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束．
（Ⅰ）试问A：2，6，4经过不断的“T变换”能否结束？若能，请依次写出经过“T变换”得到的各数列；若不能，说明理由；
（Ⅱ）设A：a₁，a₂，a₃，B=T（A）．若B：b，2，a（a≥b），且B的各项之和为2012．
（ⅰ）求a，b；
（ⅱ）若数列B再经过k次“T变换”得到的数列各项之和最小，求k的最小值，并说明理由．