2012年山东省潍坊市高考数学仿真试卷4（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数=（ ）
A．-3-4i
B．-3+4i
C．3-4i
D．3+4i

2. 难度：中等

已知S_n为等差数列{a_n}的前n项的和，a₂+a₅=4，S₇=21，则a₇的值为（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9

3. 难度：中等

将函数的图象先向左平移，然后将所得图象上所有的点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应的函数解析式为（ ）
A．y=-cos
B．y=sin4
C．y=sin
D．

4. 难度：中等

据报道，德国“伦琴”（ROSAT）卫星将在2011年10月23日某时落在地球的某个地方，砸中地球人的概率约为，为了研究中学生对这件事情的看法，某中学对此事进行了问卷调查，共收到2000份有效问卷，得到如下结果．

对卫星撞地球的态度	关注但不担心	关注有点担心	关注且非常关心	不关注
人数（人）	1000	500	x	300

则从收到的2000份有效问卷中，采用分层抽样的方法抽取20份，抽到的关注且非常担心的问卷份数为（ ）
A．2
B．3
C．5
D．10

5. 难度：中等

若则二项式的展开式中的常数项为（ ）
A．160
B．180
C．150
D．170

6. 难度：中等

已知两条不重合的直线m、n，两个互不重合的平面α、β，给出下列命题：
①若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β；
②若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β；
③若m⊥α，n∥β，则m⊥n，则α⊥β；
④若m⊥α，n∥β，且m∥n，则α∥β．
其中正确命题的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

7. 难度：中等

若定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且当x∈[0，1]时，f（x）=x，则函数y=f（x）-log₃|x|的零点个数是（ ）
A．多于4个
B．4个
C．3个
D．2个

8. 难度：中等

已知某几何体的三视图如图所示，其中，正（主）视图，侧（左）视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为（ ）

A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

连续投掷两次骰子得到的点数分别为m，n，向量与向量的夹角记为α，则α的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

已知双曲线的焦点为F₁、F₂，M为双曲线上一点，以F₁F₂为直径的圆与双曲线的一个交点为M，且，则双曲线的离心率（ ）
A．
B．
C．2
D．

11. 难度：中等

如图在等腰直角△ABC中，点O是斜边BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若，则mn的最大值为（ ）

A．
B．1
C．2
D．3

12. 难度：中等

如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，在P处有一棵树与两墙的距离分别是a m（0＜a＜12）、4m，不考虑树的粗细．现在想用16m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花圃ABCD．设此矩形花圃的最大面积为S，若将这棵树围在花圃内，则函数S=f（a）（单位m²）的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、解答题

13. 难度：中等

安排3名护士去6所医院实习，每所医院至多2人，则不同的分配方案共有    ．（用数字作答）

14. 难度：中等

图甲是某市有关部门根据对当地干部的月收入情况调查后画出的样本频率分布直方图，已知图甲中从左向右第一组的频数为4000．在样本中记月收入在[1000，1500），[1500，2000），[2000，2500），[2500，3000），[3000，3500），[3500，4000]的人数依次为A₁、A₂、…A₆．图乙是统计图甲中月工资收入在一定范围内的人数的算法流程图，图乙输出的S=    ．（用数字作答）

15. 难度：中等

不等式组表示的平面区域为D，区域D绕y轴旋转一周所得的几何体的体积V=    ．

16. 难度：中等

下列说法：
①“∃x∈R，使2^x＞3”的否定是“∀x∈R，使2^x≤3”；
②设随机变量ξ～N（0，σ²），且P（ξ＜，则P（0＜ξ＜；
③命题“函数f（x）在x=x处有极值，则f′（x）=0”的否命题是真命题；
④函数f（x）为R上的奇函数，x＞0时的解析式是f（x）=2^x，则x＜0时的解析式为f（x）=-2^-x．
其中正确的是    ．

17. 难度：中等

已知函数．
（I）求函数f（x）的周期及单调递增区间；
（II）在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知点经过函数f（x）的图象，b，a，c成等差数列，且，求a的值．

18. 难度：中等

某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数ξ依次为1，2，…，8，产品的等级系数越大表明产品的质量越好，现从某厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如图：
（I）该行业规定产品的等级系数ξ≥7的为一等品，等级系数5≤ξ＜7的为二等品，等级系数3≤ξ＜5的为三等品，试分别估计该厂生产的产品的一等品率、二等品率和三等品率；
（II）已知该厂生产一件该产品的利润y（单位：元）与产品的等级系数ξ的关系式为：y=，从该厂生产的商品中任取一件，其利润记为X，用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求随机变量X的分布列和数学期望．

19. 难度：中等

如图，D、E分别是正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的棱AA₁、BB₁的中点，且棱AA₁=8，AB=4．
（Ⅰ）求证：A₁E∥平面BDC₁；
（Ⅱ）在棱AA₁上是否存在一点M，使二面角M-BC₁-B₁的大小为60°，若存在，求AM的长；若不存在，说明理由．

20. 难度：中等

设数列{a_n}是公比大小于1的等比数列，S_n为数列{a_n}的前n项和．已知S₃=7，且a₁+3，3a₂，a₃+4构成等差数列．
（I）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（II）设c_n=log₂a_n+1，数列{c_nc_n+2}的前n项和为T_n，是否存在正整数m，使得T_n＜对于n∈N^*恒成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，说明理由．

21. 难度：中等

设函数．
（1）求函数y=f（x）的单调区间；
（2）求y=f（x）在[-1，2]上的最小值；
（3）当x∈（1，+∞）时，用数学归纳法证明：∀n∈N*，．

22. 难度：中等

设椭圆C：的左、右焦点分别为F₁，F₂，上顶点为A，过点A与AF₂垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）若过A、Q、F₂三点的圆恰好与直线l：相切，求椭圆C的方程；
（3）在（2）的条件下，过右焦点F₂作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N两点，在x轴上是否存在点P（m，0）使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，说明理由．
．