2012年上海市长宁区高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

已知向量=（2，m），若向量，若与垂直，则m等于    ．

2. 难度：中等

已知=    ．

3. 难度：中等

不等式≤1的解集为    ．

4. 难度：中等

已知球的表面积为20πcm²，则该球的体积为    cm³．

5. 难度：中等

函数y=f（x）的反函数为y=log₂（x+1）+1（x＞0），则f（x）=    ．

6. 难度：中等

圆的极坐标方程为ρ=2cosθ-sinθ，则该圆的半径为    ．

7. 难度：中等

二项式的展开式中x³的系数为10，则实数m等于    ．

8. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若b²+c²=a²-bc，，则△ABC的面积等于    ．

9. 难度：中等

在半径为r的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去，设S_n为前n个圆的面积之和，则s_n=    ．

10. 难度：中等

已知关于x的实系数一元二次方程x²-|z|x+1=0（z∈C）有实数根，则|z-1+i|的最小值为    ．

11. 难度：中等

对于定义在R上的函数f（x），有下述命题：
①若f（x）是奇函数，则f（x-1）的图象关于点A（1，0）对称；
②若函数f（x-1）的图象关于直线x=1对称，则f（x）为偶函数；
③若对x∈R，有f（x-1）=-f（x），则2是f（x）的一个周期；
④函数y=f（x-1）与y=f（1-x）的图象关于直线x=1对称．
其中正确的命题是    ．（写出所有正确命题的序号）

12. 难度：中等

从集合A={-1，1，2}中随机选取一个数记为k，从集合B={-2，1，2}中随机选取一个数记为b，则直线y=kx+b不经过第三象限的概率为    ．

13. 难度：中等

设定义域为R的函数若关于x的函数y=2f²（x）-3f（x）+1的零点的个数为    ．

14. 难度：中等

如图，在三棱锥P-ABC中，PA、PB、PC两两垂直，且PA=3．PB=2，PC=1．设M是底面ABC内一点，定义f（M）=（m，n，p），其中m、n、p分别是三棱锥M-PAB、三棱锥M-PBC、三棱锥M-PCA的体积．若f（M）=（，x，y），且≥8恒成立，则正实数a的最小值为    ．

二、选择题

15. 难度：中等

设x∈R，则“|x-1|＞1”是“x＞3”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

16. 难度：中等

如图给出的是计算的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（ ）
A．i＞10
B．i＜10
C．i＞9
D．i＜9

17. 难度：中等

知向量，||=，=（2，2），则与夹角的最小值和最大值依次是（ ）
A．
B．
C．
D．

18. 难度：中等

已知有相同两焦点F₁、F₂的椭圆和双曲线，P是它们的一个交点，则△F₁PF₂的形状是（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．随m，n变化而变化

三、解答题

19. 难度：中等

小明购买一种叫做“买必赢”的彩票，每注售价10元，中奖的概率为2%，如果每注奖的奖金为300元，那么小明购买一注彩票的期望收益是多少元？

20. 难度：中等

如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为矩形，PA=AB=2，AD=2AB，PA⊥平面ABCD，E，F分别是BC，PC的中点．
（1）求异面直线PB与AC所成的角的余弦值；
（2）求三棱锥A-EFD的体积．

21. 难度：中等

已知数列{a_n}是各项均不为0的等差数列，公差为d，S_n为其前n项和，且满足，n∈N^*．数列{b_n}满足，T_n为数列{b_n}的前n项和．
（1）求a₁、d和T_n；
（2）若对任意的n∈N^*，不等式恒成立，求实数λ的取值范围．

22. 难度：中等

定义：对函数y=f（x），对给定的正整数k，若在其定义域内存在实数x，使得f（x+k）=f（x）+f（k），则称函数f（x）为“k性质函数”．
（1）判断函数是否为“k性质函数”？说明理由；
（2）若函数为“2性质函数”，求实数a的取值范围；
（3）已知函数y=2^x与y=-x的图象有公共点，求证：f（x）=2^x+x²为“1性质函数”．

23. 难度：中等

设抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，过F且垂直于x轴的直线与抛物线交于P₁，P₂两点，已知|P₁P₂|=8．
（1）求抛物线C的方程；
（2）设m＞0，过点M（m，0）作方向向量为的直线与抛物线C相交于A，B两点，求使∠AFB为钝角时实数m的取值范围；
（3）①对给定的定点M（3，0），过M作直线与抛物线C相交于A，B两点，问是否存在一条垂直于x轴的直线与以线段AB为直径的圆始终相切？若存在，请求出这条直线；若不存在，请说明理由．
②对M（m，0）（m＞0），过M作直线与抛物线C相交于A，B两点，问是否存在一条垂直于x轴的直线与以线段AB为直径的圆始终相切？（只要求写出结论，不需用证明）