2012年河北省邯郸市高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={x∈N|0≤x≤5}，C_AB={1，3，5}，则集合B=（ ）
A．{2，4}
B．{0，2，4}
C．{0，1，3}
D．{2，3，4}

2. 难度：中等

复数的虚部为（ ）
A．-2
B．2
C．-1
D．1

3. 难度：中等

给出以下命题：①∃x∈R，sinx+cosx＞1②∀x∈R，x²-x+1＞0③“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件，其中正确命题的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

4. 难度：中等

在下列区间中，函数f（x）=e^x+4x-3的零点所在的区间为（ ）
A．（-，0）
B．（0，）
C．（，）
D．（，）

5. 难度：中等

展开式中不含x⁴项的系数的和为（ ）
A．-1
B．0
C．1
D．2

6. 难度：中等

如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，侧视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是（ ）

A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

阅读如图的程序框图．若输入n=6，则输出k的值为（ ）

A．2
B．3
C．4
D．5

8. 难度：中等

函数f（x）=sin（ωx+φ）（）的最小正周期是π，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数f（x）的图象（ ）
A．关于点对称
B．关于点对称
C．关于直线对称
D．关于直线对称

9. 难度：中等

在△ABC所在的平面内有一点P，如果，那么△PBC的面积与△ABC的面积之比是（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

在区间[-1，1]上任取两数s和t，则关于x的方程x²+2sx+t=0的两根都是正数的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

设抛物线y²=x的焦点为F，点M在抛物线上，线段MF的延长线与直线交于点N，则的值为（ ）
A．
B．
C．2
D．4

12. 难度：中等

已知函数g（x）是R上的奇函数，且当x＜0时g（x）=-ln（1-x），函数若f（2-x²）＞f（x），则实数x的取值范围是（ ）
A．（-2，1）
B．
C．（-1，2）
D．

二、解答题

13. 难度：中等

从某地区随机抽取100名高中男生，将他们的体重（单位：kg）数据绘制成频率分布直方图（如图）．若要从各组内的男生中，用分层抽样的方法选取20人参加一项活动，则从[60，70]这一组中抽取的人数为    ．

14. 难度：中等

双曲线的左、右焦点分别为F₁、F₂，过焦点F₂且垂直于x轴的直线与双曲线相交于A、B两点，若，则双曲线的离心率为    ．

15. 难度：中等

将边长为2的正△ABC沿BC边上的高AD折成直二面角B-AD-C，则三棱锥B-ACD的外接球的表面积为    ．

16. 难度：中等

已知在△ABC中，sinB是sinA和sinC的等差中项，则内角B的取值范围是    ．

17. 难度：中等

已知正项等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足，S₇=56．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b₁=a₁且b_n+1-b_n=a_n+1，求数列的前n项和T_n．

18. 难度：中等

PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．
某试点城市环保局从该市市区2011年全年每天的PM2.5监测数据中随机的抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）
（I）从这15天的PM2.5日均监测数据中，随机抽出三天，求恰有一天空气质量达到一级的概率；
（II）从这15天的数据中任取三天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列；
（III）以这15天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量情况，则一年（按360天计算）中平均有多少天的空气质量达到一级或二级．

19. 难度：中等

如图，已知四棱锥E-ABCD的底面为菱形，且∠ABC=60°，AB=EC=2，
．
（I）求证：平面EAB⊥平面ABCD；
（II）求二面角A-EC-D的余弦值．

20. 难度：中等

在平面直角坐标系中，点P（x，y）为动点，已知点，，直线PA与PB的斜率之积为．
（I）求动点P轨迹E的方程；
（ II）过点F（1，0）的直线l交曲线E于M，N两点，设点N关于x轴的对称点为Q（M、Q不重合），求证：直线MQ过定点．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=（x²-x+）e^ax（a＞0）
（1）求曲线f（x）在点A（0，f（0））处的切线方程；
（2）讨论函数f（x）的单调性；
（3）是否存在实数a∈（1，2），使f（x）＞当x∈（0，1）时恒成立？若存在，求出实数a；若不存在，请说明理由．

22. 难度：中等

选做题
如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，AD⊥CE，垂足为D，AC平分∠BAD．
（Ⅰ）求证：直线CE是⊙O的切线；（Ⅱ）求证：AC²=AB•AD．

23. 难度：中等

选修4-4：坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合．直线l的参数方程为：（t为参数），曲线C的极坐标方程为：ρ=4cosθ．
（Ⅰ）写出C的直角坐标方程，并指出C是什么曲线；
（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于P、Q两点，求|PQ|值．

24. 难度：中等

选修4-5：不等式选讲
已知函数f（x）=log₂（|x-1|+|x+2|-a）．
（Ⅰ）当a=7时，求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≥3的解集是R，求实数a的取值范围．