2012年广东省江门市高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知复数z=1-i（i是虚数单位），若a∈R使得，则a=（ ）
A．
B．-
C．2
D．-2

2. 难度：中等

已知函数f（x）=lg|x|，x∈R且x≠0，则f（x）是（ ）
A．奇函数且在（0，+∞）上单调递增
B．偶函数且在（0，+∞）上单调递增
C．奇函数且在（0，+∞）上单调递减
D．偶函数且在（0，+∞）上单调递减

3. 难度：中等

从一个五棱锥的顶点和底面各顶点（共6个点）中随机选取4个点，这4个点共面的概率等于（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

如图，△ABC中，AC=3，BC=4，∠C=90°，D是BC的中点，则=（ ）

A．0
B．5
C．17
D．-17

5. 难度：中等

有人收集了春节期间平均气温x与某取暖商品销售额y的有关数据如下表：

平均气温（℃）	-2	-3	-5	-6
销售额（万元）	20	23	27	30

根据以上数据，用线性回归的方法，求得销售额y与平均气温x之间线性回归方程y=x+a的系数．则预测平均气温为-8℃时该商品销售额为（ ）
A．34.6万元
B．35.6万元
C．36.6万元
D．37.6万元

6. 难度：中等

下列命题中，真命题的个数是（ ）
①不等式|x-3|＞1的解集是（4，+∞）；
②命题“任意素数都是奇数”的否定是“任意素数都不是奇数”；
③平行于同一平面的两平面互相平行；
④抛物线y=2x²的焦点坐标是（0，）
A．1
B．2
C．3
D．4

7. 难度：中等

如图，某几何体的正视图和侧视图都是对角线长分别为4和3的菱形，俯视图是对角线长为3的正方形，则该几何体的体积为（ ）

A．36
B．18
C．12
D．6

8. 难度：中等

定义，其中a，b，c，d∈{-1，1，2，3，4}，且互不相等．则的所有可能且互不相等的值之和等于（ ）
A．2012
B．-2012
C．0
D．以上都不对

二、填空题

9. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为S_n=（-1）ⁿn，则a_n=    ．

10. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，以点M（1，-1）为圆心，且与直线x-2y+2=0相切的圆的方程是    ．

11. 难度：中等

以初速度40m/s，垂直向上抛一物体，t时刻的速度（v的单位是m/s）为v=40-10t，则该物体达到最大高度为    米．

12. 难度：中等

已知x、y满足，则z=2x-y的最大值是    ．

13. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，输出的i=    ．

14. 难度：中等

（几何证明选讲选做题）如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC外接圆的直径．若AB=6，AC=5，AD=4，则图中与∠BAE相等的角是    ，AE=    ．

15. 难度：中等

（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（a为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知函数f（x）=sin（ωx+）-cos（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π．
（1）求f（）的值；
（2）若△ABC满足f（C）+f（B-A）=2f（A），证明：△ABC是直角三角形．

17. 难度：中等

甲、乙两名同学在5次英语口语测试中的成绩统计如图的茎叶图所示．
（1）现要从中选派一人参加英语口语竞赛，从两同学的平均成绩和方差分析，派谁参加更合适；
（2）若将频率视为概率，对学生甲在今后的三次英语口语竞赛成绩进行预测，记这三次成绩中高于80分的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．
（注：样本数据x₁，x₂，…，x_n的方差s²=[++…+]，其中表示样本均值）

18. 难度：中等

如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是平行四边形，且AB=1，BC=2，∠ABC=60°，E为BC的中点，AA₁⊥平面ABCD．
（1）证明：平面A₁AE⊥平面A₁DE；
（2）若DE=A₁E，试求异面直线AE与A₁D所成角的余弦值．

19. 难度：中等

已知直线x-y+=0经过椭圆C：（a＞b＞0）的一个顶点B和一个焦点F．
（1）求椭圆的离心率；
（2）设P是椭圆C上动点，求||PF|-|PB||的取值范围，并求||PF|-|PB||取最小值时点P的坐标．

20. 难度：中等

某学校每星期一供应1000名学生A、B两种菜．调查表明，凡在这星期一选A种菜的，下星期一会有20%改选B种菜；而选B种菜的，下星期一会有30%改选A种菜．设第n个星期一选A、B两种菜分别有a_n、b_n名学生．
（1）若a₁=500，求a₂、a₃；
（2）求a_n，并说明随着时间推移，选A种菜的学生将稳定在600名附近．

21. 难度：中等

已知f（x）=x²，g（x）=lnx，直线l：y=kx+b（常数k、b∈R）使得函数y=f（x）的图象在直线l的上方，同时函数y=g（x）的图象在直线l的下方，即对定义域内任意x，lnx＜kx+b＜x²恒成立．
试证明：
（1）k＞0，且-lnk-1＜b＜-；
（2）“＜k＜e”是“lnx＜kx+b＜x²”成立的充分不必要条件．