2011-2012学年云南省曲靖市宣威一中高三（下）2月月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若，则实数a的值是（ ）
A．±1
B．1
C．±2
D．-2

2. 难度：中等

由方程x|x|+y|y|=1确定的函数y=f（x）在（-∞，+∞）上是（ ）
A．增函数
B．减函数
C．先增后减
D．先减后增

3. 难度：中等

函数的大致图象为（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

设等比数列{a_n}的公比q=2，前n项和为S_n，则=（ ）
A．2
B．4
C．
D．

5. 难度：中等

已知{a_n}是等差数列，a₁+a₂=4，a₇+a₈=28，则该数列前10项和S₁₀等于（ ）
A．64
B．100
C．110
D．120

6. 难度：中等

若0≤α≤2π，sinα＞cosα，则α的取值范围是（ ）
A．（，）
B．（，π）
C．（，）
D．（，）

7. 难度：中等

设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的值是最大值为12，则的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．4

8. 难度：中等

圆（x-1）²+y²=1被直线x-y=0分成两段圆弧，则较短弧长与较长弧长之比为（ ）
A．1：2
B．1：3
C．1：4
D．1：5

9. 难度：中等

O是△ABC所在平面内一点，动点P满足（λ∈（0，+∞）），则动点P的轨迹一定通过△ABC的（ ）
A．内心
B．重心
C．外心
D．垂心

10. 难度：中等

椭圆的左右焦点分别为F₁，F₂，弦AB过F₁，若△ABF₂的内切圆周长为π，A，B两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），则|y₁-y₂|值为（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

已知双曲线，若过右焦点F且倾斜角为30°的直线与双曲线的右支有两个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）
A．（1，2）
B．
C．[2，+∞）
D．

12. 难度：中等

已知抛物线的方程为y²=2px（p＞0），且抛物线上各点与焦点距离的最小值为2，若点M在此抛物线上运动，点N与点M关于点A（1，1）对称，则点N的轨迹方程为（ ）
A．（x-2）²=-8（y-2）
B．（x-2）²=8（y-2）
C．（y-2）²=-8（x-2）
D．（y-2）²=8（x-2）

二、填空题

13. 难度：中等

已知函数f（x）=sinx+cosx且f（x）=2f′（x），f′（x）是f（x）的导函数，则=    ．

14. 难度：中等

若a＞0且a≠1，函数y=|a^x-1|与y=2a的图象有两个交点，则a的取值范围是    ．

15. 难度：中等

已知f（x）=则不等式x+（x+2）•f（x+2）≤5的解集是    ．

16. 难度：中等

一次研究性课堂上，老师给出函数，三位同学甲、乙、丙在研究此函数时分别依次对应给出下列命题
①函数f（x）的值域为（-1，1）；
②若x₁≠x₂，则一定有f （x₁）≠f （x₂）；
③若规定对任意n∈N^*恒成立．
你认为上述三个命题中正确的题号是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知函数f（x）=4sin²（+x）-2cos2x-1且≤x≤
（1）求f（x）的最大值及最小值；
（2）求f（x）的单调区间．

18. 难度：中等

已知△ABC的顶点A（-1，0）、B（1，0）顶点C在直线y=上
①若sin²A+sin²B=2sin²C，求点C的坐标；
②设CA＞CB，且，求角C．

19. 难度：中等

已知点P₁（a₁，b₁），P₂（a₂，b₂），…，P_n（a_n，b_n）（n∈N^*）都在函数的图象上．
（Ⅰ）若数列{b_n}是等差数列，求证数列{a_n}为等比数列；
（Ⅱ）若数列{a_n}的前n项和为S_n=1-2^-n，过点P_n，P_n+1的直线与两坐标轴所围成三角形面积为c_n，求使c_n≤t对n∈N^*恒成立的实数t的取值范围．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=e^x-kx，
（1）若k=e，试确定函数f（x）的单调区间；
（2）若k＞0，且对于任意x∈R，f（|x|）＞0恒成立，试确定实数k的取值范围；
（3）设函数F（x）=f（x）+f（-x），求证：F（1）F（2）…F（n）＞（n∈N⁺）．

21. 难度：中等

线段AB过x轴正半轴上一定点M（m，0），两端点A、B到x轴的距离之积为2m，O为坐标原点，以x轴为对称轴，经过A、O、B三点作抛物线．
（1）求这条抛物线方程；
（2）若，求m的最大值．

22. 难度：中等

如图所示，AB为⊙O的直径，BC、CD为⊙O的切线，B、D为切点．
（1）求证：AD∥OC；
（2）若⊙O的半径为1，求AD•OC的值．

23. 难度：中等

选修4-4：坐标系与参数方程：
（1）已知二次函数，（α为参数，cosα≠0）求证此抛物线顶点的轨迹是双曲线．
（2）长为2a的线段两端点分别在直角坐标轴上移动，从原点向该线段作垂线，垂足为P，求P的轨迹的极坐标方程．

24. 难度：中等

选做题：不等式选讲
（Ⅰ） 设a₁，a₂，a₃均为正数，且a₁+a₂+a₃=m，求证++≥．
（Ⅱ） 已知a，b都是正数，x，y∈R，且a+b=1，求证：ax²+by²≥（ax+by）²．