2012年山东省潍坊市、莱芜市、菏泽市、东营市高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

集合M={x|＞0}，集合N={y|y=x}，则M∩N=（ ）
A．（0，+∞）
B．（1，+∞）
C．（0，1）
D．（0，1）∪（1，+∞）

2. 难度：中等

复数=（ ）
A．-i
B．i
C．5i
D．+i

3. 难度：中等

不等式|x-2|-|x-1|＞0的解集为（ ）
A．（-∞，）
B．（-∞，-）
C．（，+∞）
D．（-，+∞）

4. 难度：中等

命题“∀x∈[1，2]，x²-a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．a≥4
B．a≤4
C．a≥5
D．a≤5

5. 难度：中等

将函数y=cos2x的图象向右平移个单位，得到函数y=f（x）•sinx的图象，则f（x）的表达式可以是（ ）
A．f（x）=-2cos
B．f（x）=2cos
C．f（x）=sin2
D．f（x）=（sin2x+cos2x）

6. 难度：中等

运行图所示的程度框图，若输出结果为，则判断框中应该填的条件是（ ）

A．k＞5
B．k＞6
C．k＞7
D．k＞8

7. 难度：中等

已知向量a=（cosx，sinx），b=（，），a•b=，且＜x＜，则cos（x+）的值为（ ）
A．
B．
C．-
D．-

8. 难度：中等

已知函数f（x）=e^|lnx|-|x-|，则函数y=f（x+1）的大致图象为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

在空间中，l、m、n是三条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列结论不正确的是（ ）
A．若α∥β，α∥γ，则β∥γ
B．若l∥α，l∥β，α∩β=m则l∥m
C．若α⊥β，α⊥γ，β∩γ=l，则l⊥α
D．若α∩β=m，β∩γ=l，γ∩α=n，l⊥m，l⊥n，则m⊥n

10. 难度：中等

直线4kx-4y-k=0与抛物线y²=x交于A、B两点，若|AB|=4，则弦AB的中点到直线x+=0的距离等于（ ）
A．
B．2
C．
D．4

11. 难度：中等

已知矩形ABCD的面积为8，当矩形周长最小时，沿对角线AC把△ACD折起，则三棱锥D-ABC的外接球的表面积等于（ ）
A．4π
B．8π
C．16π
D．24π

12. 难度：中等

若直角坐标平面内的两点P、Q满足条件：
①P、Q都在函数y=f（x）的图象上；
②P、Q关于原点对称，则称点对[P，Q]是函数y=f（x）的一对“友好点对”（点对[P，Q]与[Q，P]看作同一对“友好点对”），
已知函数f（x）=，则此函数的“友好点对”有（ ）
A．0对
B．1对
C．2对
D．3对

二、填空题

13. 难度：中等

双曲线-y²=1（a＞0）的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为    ．．

14. 难度：中等

如图，长方形的四个顶点为O（0，0），A（1，0），B（1，2），C（0，2），曲线y=ax²经过点B、现将一质点随机投入长方形OABC中，则质点落在图中阴影区域的概率是    ．

15. 难度：中等

某工厂将甲、乙等五名新招聘员工分配到三个不同的车间，每个车间至少分配一名员工，且甲、乙两名员工必须分到同一个车间，则不同分法的种数为    ．

16. 难度：中等

已知定义在R上的偶函数满足：f（x+4）=f（x）+f（2），且当x∈[0，2]时，y=f（x）单调递减，给出以下四个命题：
①f（2）=0；
②x=-4为函数y=f（x）图象的一条对称轴；
③函数y=f（x）在[8，10]单调递增；
④若方程f（x）=m在[-6，-2]上的两根为x₁，x₂，则x₁+x₂=-8．
上述命题中所有正确命题的序号为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

设函数f（x）=sin（ωx-）-2+1（ω＞0）．直线与函数y=f（x）图象相邻两交点的距离为π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若点是函数y=f（x）图象的一个对称中心，且b=3，求△ABC外接圆的面积．

18. 难度：中等

在等比数列{a_n}中，a_n＞0（n∈N₊），公比q∈（0，1），且a₃a₅+2a₄a₆+a₃a₉=100，又4是a₄与a₆的等比中项．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=log₂a_n，求数列{|b_n|}的前n项和S_n．

19. 难度：中等

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，AA₁=3，D为C₁B的中点，P为AB边上的动点．
（Ⅰ）当点P为AB的中点时，证明DP∥平面ACC₁A₁；
（Ⅱ）若DP⊥AB，求二面角D-CP-B的余弦值．

20. 难度：中等

某学校为调查了解学生体能状况，决定对高三学生进行一次体育达标测试，具体测试项目有100米跑、立定跳远、掷实心球．测试规定如下：
①三个测试项目中有两项测试成绩合格即可认定为体育达标；
②测试时要求考生先从三个项目中随机抽取两个进行测试，若抽取的两个项目测试都合格或都不合格时，不再参加第三个项目的测试；若抽取的两个项目只有一项合格，则必须参加第三项测试．
已知甲同学跑、跳、掷三个项目测试合格的概率分别是、、，各项测试时间间隔恰当，每次测试互不影响．
（Ⅰ）求甲同学恰好先抽取跳、掷两个项目进行测试的概率；
（Ⅱ）求甲同学经过两个项目测试就能达标的概率；
（Ⅲ）若甲按规定完成测试，参加测试项目个数为X，求X的分布列和期望．

21. 难度：中等

已知直线l：y=x+，圆O：x²+y²=5，椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，直线l被圆O截得的弦长与椭圆的短轴长相等．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）过圆O上任意一点P作椭圆E的两条切线，若切线都存在斜率，求证两切线斜率之积为定值．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=（x²-3x+3）e^x，x∈[-2，t]（t＞-2）．
（Ⅰ）当t＜1时，求函数y=f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设f（-2）=m，f（t）=n，求证m＜n；
（Ⅲ）设g（x）=f（x）+（x-2）e^x，判断并证明是否存在区间[a，b]（a＞1）使函数y=g（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]．